Ύπαρξη

#1

Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:R \to R$ με $\displaystyle f(0) = f(2) = 0$ .
Βρείτε το $\displaystyle a \in R$ ώστε να υπάρχει $\displaystyle c \in (0,2)$ με $\displaystyle f''(c) = 2af(1)$ .

#2

exdx έγραψε: Κυρ Φεβ 03, 2019 10:36 am Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:R \to R$ με $\displaystyle f(0) = f(2) = 0$ .
Βρείτε το $\displaystyle a \in R$ ώστε να υπάρχει $\displaystyle c \in (0,2)$ με $\displaystyle f''(c) = 2af(1)$ .

Ίσως χάνω κάτι.

Αν f(1)=0

τότε (απλό με διπλό Rolle) υπάρχει

με

. Δηλαδή όλα τα

μας κάνουν.

Αν $f(1)\ne 0$ τότε για τυχαίο

επιλέγουμε $a= \frac {f''(c)}{2f(1)}$ . Κάνει την δουλειά! Μάλιστα όλα τα

που κάνουν την δουλειά είναι
αυτής της μορφής.

#3

Μια συνθήκη ικανή αλλά οχι αναγκαίαείναι η $\displaystyle{g(x)=f(x)-af(1)x^2-bf(1)x }$ να εχει 3 ριζες

$\displaystyle{ g(0)=0}$
$\displaystyle{g(1)=f(1)(1-a-b)=0\Rightarrow a+b=1}$
$\displaystyle{g(2)=-f(1)(4a+2b)=0}$
αρα $\displaystyle{a=-1,b=2}$

με διαδοxικά Rolle φτάνουμε οτι η $\displaystyle{g''(x)=f''(x)-2af(1)=0}$ εχει ριζα έστω $\displaystyle{c}$

Chatzibill · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Φεβ 03, 2019 11:37 am
exdx έγραψε: Κυρ Φεβ 03, 2019 10:36 am Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:R \to R$ με $\displaystyle f(0) = f(2) = 0$ .
Βρείτε το $\displaystyle a \in R$ ώστε να υπάρχει $\displaystyle c \in (0,2)$ με $\displaystyle f''(c) = 2af(1)$ .
Ίσως χάνω κάτι.

Αν τότε (απλό με διπλό Rolle) υπάρχει με . Δηλαδή όλα τα μας κάνουν.

Αν $f(1)\ne 0$ τότε για τυχαίο επιλέγουμε $a= \frac {f''(c)}{f(1)}$ . Κάνει την δουλειά! Μάλιστα όλα τα που κάνουν την δουλειά είναι
αυτής της μορφής.

$a= \frac{f''(c)}{2f(1)}$

#5

Chatzibill έγραψε: Κυρ Φεβ 03, 2019 9:47 pm $a= \frac{f''(c)}{2f(1)}$

Σωστά. Τυπογραφικό γαρ. Ευχαριστώ.

Ύπαρξη

Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Μέλη σε σύνδεση