Βοήθεια σε άσκηση

Agnwsth · #1

Έστω μια $f:\Re \rightarrow \Re$
παραγωγίσιμη , γνησίως αύξουσα και κυρτή. Να βρεθεί το : $\lim_{x\to \infty} f (x)$

#2

Agnwsth έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 16, 2019 5:19 pm
Έστω μια $f:\Re \rightarrow \Re$
παραγωγίσιμη , γνησίως αύξουσα και κυρτή. Να βρεθεί το : $\lim_{x\to \infty} f (x)$

Καλησπέρα :

Μια μικρή περιγραφή της πορείας λύσης .

Σε κάποιο σημείο

η παράγωγος είναι θετική.Παίρνουμε την εφαπτομένη σε αυτό το σημείο που είναι της μορφής y=f'(a)x+b

.Λόγω της κυρτότητας είναι $f(x)\geq y$ για κάθε $x\in\mathbb R$ .Αυτή η σχέση δίνει ότι το όριο είναι $+\infty$ ,αφού η ''μικρή'' συνάρτηση απειρίζεται καθώς το

απειρίζεται θετικά..

Μπάμπης

#3

Agnwsth έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 16, 2019 5:19 pm
Έστω μια $f:\Re \rightarrow \Re$
παραγωγίσιμη , γνησίως αύξουσα και κυρτή. Να βρεθεί το : $\lim_{x\to \infty} f (x)$

Επειδή μάλλον είναι άσκηση στο σπίτι από μαθήματα που παρακολουθείς, ας αρκεστούμε για την ώρα σε

Υπόδειξη: α) από το γνησίως αύξουσα είναι $f'(x) \ge 0$ . β) Από κυρτότητα είναι f'(x)

γνήσια αύξουσα.

Συνέχισε.

Η τελική απάντηση είναι "συν άπειρο".

Θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου.

Προσθήκη αργότερα: Με πρόλαβαν.

Agnwsth · #4

Καλησπέρα. Ευχαριστώ για τις υποδείξεις σας. όταν έλυσα την άσκηση δεν σκέφτηκα καθόλου την εφαπτομένη, και έτσι η λύση βγήκε πολύ σύνθετη. Αυτός ήταν και ο λόγος που απευθύνθηκα εδώ, γιατί σκέφτηκα ότι θα υπάρχει και πιο απλός τρόπος.

Χρησιμοποίησα το Θ.Μ.Τ. στο $\left [ 0 ,\right x]$ και χρησιμοποιώντας την μονοτονία της παραγώγου στην ανίσωση $0< x_{0}< x$ κατέληξα στο εξής : $x{f}'\left ( 0 \right ) + f\left ( 0 \right ) < f\left ( x \right )< {f}'\left ( x \right )x+f\left ( 0 \right )$ (1) Έδωσα την εξής αιτιολόγηση : Αφού η παράγωγος γνησίως αύξουσα , τότε είναι 1-1 . Άρα η εξίσωση ${f}'\left ( x \right )=0$
έχει το πολύ μια ρίζα. Δηλαδή, δεν συγκροτείται διάστημα από το πλήθος των ριζών της παραγώγου, και η

γνησίως αύξουσα και συνεχής , άρα ${f}'(x)>0 \forall x\epsilon \Re$ εκτός ίσως από ένα $x_{0}\epsilon \Re$ ,ρίζα της παραγώγου. Αν $x_{0}=0$ τότε , θέτωντας στην σχέση (1) όπου x το 0 καταλήγουμε σε άτοπο .
Αν $x_{0}>0 \Leftrightarrow {f}'(x_{0})>{f}'(0) \Leftrightarrow {f}'(0)<0 .$ , το οποίο είναι άτοπο. Άρα η παράγωγος δεν έχει ρίζες στο $\left [ 0, \right +\infty ]$

Ύστερα χρησιμοποιώ το κριτήριο παρεμβολής..

#5

Agnwsth έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 16, 2019 10:12 pm
Καλησπέρα. Ευχαριστώ για τις υποδείξεις σας. όταν έλυσα την άσκηση δεν σκέφτηκα καθόλου την εφαπτομένη, και έτσι η λύση βγήκε πολύ σύνθετη. Αυτός ήταν και ο λόγος που απευθύνθηκα εδώ, γιατί σκέφτηκα ότι θα υπάρχει και πιο απλός τρόπος.
Χρησιμοποίησα το Θ.Μ.Τ. στο $\left [ 0 ,\right x]$ και χρησιμοποιώντας την μονοτονία της παραγώγου στην ανίσωση $0< x_{0}< x$ κατέληξα στο εξής : $x{f}'\left ( 0 \right ) + f\left ( 0 \right ) < f\left ( x \right )< {f}'\left ( x \right )x+f\left ( 0 \right )$ (1) Έδωσα την εξής αιτιολόγηση : Αφού η παράγωγος γνησίως αύξουσα , τότε είναι 1-1 . Άρα η εξίσωση ${f}'\left ( x \right )=0$
έχει το πολύ μια ρίζα. Δηλαδή, δεν συγκροτείται διάστημα από το πλήθος των ριζών της παραγώγου, και η γνησίως αύξουσα και συνεχής , άρα ${f}'(x)>0 \forall x\epsilon \Re$ εκτός ίσως από ένα $x_{0}\epsilon \Re$ ,ρίζα της παραγώγου. Αν $x_{0}=0$ τότε , θέτωντας στην σχέση (1) όπου x το 0 καταλήγουμε σε άτοπο .
Αν $x_{0}>0 \Leftrightarrow {f}'(x_{0})>{f}'(0) \Leftrightarrow {f}'(0)<0 .$ , το οποίο είναι άτοπο. Άρα η παράγωγος δεν έχει ρίζες στο $\left [ 0, \right +\infty ]$

Ύστερα χρησιμοποιώ το κριτήριο παρεμβολής..

Μέσες άκρες σωστά, αλλά υπάρχουν πολλά περιττά. Πιο λιτά:

Από τις υποθέσεις, και τις υποδείξεις που έδωσα, εύκολα βλέπουμε ότι υπάρχει

τέτοιο ώστε f'΄(a) >0

. Τώρα, και πάλι εύκολα, για x>a

έχουμε

. Τέλος, παίρνουμε όριο $x\to \infty$ .

Agnwsth · #6

Ναι, το κατάλαβα. Ευχαριστώ πολύ!!

Βοήθεια σε άσκηση

Βοήθεια σε άσκηση

Re: Βοήθεια σε άσκηση

Re: Βοήθεια σε άσκηση

Re: Βοήθεια σε άσκηση

Re: Βοήθεια σε άσκηση

Re: Βοήθεια σε άσκηση

Μέλη σε σύνδεση