Με απλά υλικά (20)

#1

Δίνεται ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle a>0$ και η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)={{e}^{x-a}}-ax\ln x\,$ , για κάθε $\displaystyle x>0$ .
Να βρείτε το σημείο καμπής της $\displaystyle {{C}_{f}}$ με τη μέγιστη δυνατή τεταγμένη .

#2

exdx έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 18, 2019 9:44 am
Δίνεται ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle a>0$ και η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)={{e}^{x-a}}-ax\ln x\,$ , για κάθε $\displaystyle x>0$ .
Να βρείτε το σημείο καμπής της $\displaystyle {{C}_{f}}$ με τη μέγιστη δυνατή τεταγμένη .

Καλημέρα Γιώργη!

$\displaystyle f''(x) = {e^{x - a}} - \frac{a}{x} \ge 0 \Leftrightarrow \ln {e^{x - a}} \ge \ln \frac{a}{x} \Leftrightarrow x - a \ge \ln a - \ln x \Leftrightarrow x + \ln x \ge a + \ln a$

απ' όπου παίρνουμε $x\ge a$ αφού η συνάρτηση $x+\ln x$ είναι γνησίως αύξουσα. Άρα η f''

αλλάζει πρόσημο

εκατέρωθεν του a>0

οπότε το σημείο $A(a, 1-a^2\ln a)$ θα είναι σημείο καμπής.

Αρκεί να βρούμε τη μέγιστη τιμή του $1-a^2\ln a.$ Θεωρώ τη συνάρτηση $g(a)=1-a^2\ln a, a>0.$

$\displaystyle g'(a) = - 2a\ln a - a = - a(2\ln a + 1)$ και εύκολα τώρα διαπιστώνουμε ότι η

παρουσιάζει μέγιστο για

$\displaystyle a = \frac{1}{{\sqrt e }}$ ίσο με $\displaystyle 1 + \frac{1}{{2e}}.$ Επομένως το ζητούμενο σημείο καμπής είναι το $\boxed{ A\left( {\frac{1}{{\sqrt e }},1 + \frac{1}{{2e}}} \right)}$

Με απλά υλικά (20)

Με απλά υλικά (20)

Re: Με απλά υλικά (20)

Μέλη σε σύνδεση