Με απλά υλικά (21)

#1

Από ένα φύλλο λαμαρίνας διαστάσεων $\displaystyle 2mx2m$ θα κατασκευαστεί ένα κουτί με καπάκι . Αποκόπτουμε δύο τετράγωνα και δυο ορθογώνια όπως στο σχήμα και συγκολλούμε τις ακμές . Ποιος είναι ο μέγιστος όγκος του κουτιού ;

fmak65 · #2

Αν είναι x, y είναι οι διαστάσεις της βάσης και z η διάσταση του ύψους, από το σχέδιο βλέπουμε ότι ισχύει
$2x+2y=2\Rightarrow 2y=2-2x\Rightarrow y=1-x$ και $2x+z=2\Rightarrow z=2-2x$ .
Οι τιμές τις οποίες μπορεί να πάρουν τα x,y,z είναι θετικές (επειδή είναι μήκη πλευρών) και επειδή η πλευρά της λαμαρίνας είναι 2 προφανώς μικρότερος του 2.
Άρα ισχύει $0< z< 2\Rightarrow 0< 2-2x< 2\Rightarrow -2< -2x< 2-2\Rightarrow -2< -2x< 0\Rightarrow 1> x> 0.$
$0<y<2\Rightarrow 0<1-x<2\Rightarrow -1<-x<1\Rightarrow 1>x>-1$
Άρα για το x ισχύει 0< x <1

Ο όγκος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου που θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε είναι $x*y*z=x*(1-x)*(2-2x)=2x^{3}-4x^{2}+2x$ .
Για να να βρούμε που μεγιστοποιήται, θα πρέπει να βρούμε την παράγωγο του όγκου και να βρούμε που μηδενίζεται και να βρούμε που είναι το τοπικό μέγιστο.
Η παράγωγος του όγκου είναι $6x^{2}-8x+2$ , και η οποία μηδενίζεται για x=1 (απορρίπτεται) & $x=\frac{1}{3}$ .
Αν κάνουμε τον πίνακα προσήμων και μονοτονίας της συνάρτησης , βρίσκουμε ότι για $x=\frac{1}{3}$ έχουμε το ζητούμενο μέγιστο.
Οπότε οι διαστάσεις του ζητούμενου κουτιού είναι $x=\frac{1}{3}$ , $y=\frac{2}{3}$ , $z=\frac{4}{3}$ και ο ζητούμενος όγκος είναι $\frac{8}{27}m^{3}.$
(Η επεξεργασία έγινε λόγω π.μ. από τον exdx γιατί δεν έγραψα τους περιορισμούς).

Με απλά υλικά (21)

Με απλά υλικά (21)

Re: Με απλά υλικά (21)

Μέλη σε σύνδεση