Επείγον

Aleksis2001 · #1

Καλησπέρα, οι μέρες πλησιάζουν και θα ήθελα οποίος έχει χρόνο να ασχοληθεί με τα δύο ζητήματα που έχω ανάγκη να λυθούν
1) 152σ άσκηση 6 ( νέα έκδοση)
Αν μπορέσει κάποιος να την λύσει πιο καλογραμμένα από ότι το σχολικό ( δεν καταλαβαίνω πως προκύπτει το πρόσημο στον πίνακα μεταβολών)
2) ποια είναι τα αντιπαράδειγματα που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο
Ευχαριστώ εκ των προτέρων δε όποιον έχει χρόνο να ασχοληθεί

Christos.N · #2

Δεν μπορώ να μειώσω το μέγεθος της φωτογραφίας που έβγαλα και στο latex δεν μπορώ να κάνω πίνακα προσήμων και μεταβολών. Θα σου περιγράψω θεωρώντας δεδομένο ότι αντιλαμβάνεσαι πως απο το θεώρημα Rolle προκύπτουν οι δύο ρίζες της παραγώγου στα διαστήματα (a,b)

και

:

Η παράγωγος τειλικά είναι η f'(x)=2(x-a)(x-b)(x-c)(3 x^2-2(a+b+c)x+ab+ac+bc)

Τώρα θα κάνεις πίνακα προσήμων περιλαμβάνοντας κάθε παράγοντα ,και για το τριώνυμο να παρατηρήσεις ότι έχει θετικό συντελεστή του τετραγώνου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Aleksis2001 έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 05, 2019 6:57 pm
Καλησπέρα, οι μέρες πλησιάζουν και θα ήθελα οποίος έχει χρόνο να ασχοληθεί με τα δύο ζητήματα που έχω ανάγκη να λυθούν
1) 152σ άσκηση 6 ( νέα έκδοση)
Αν μπορέσει κάποιος να την λύσει πιο καλογραμμένα από ότι το σχολικό ( δεν καταλαβαίνω πως προκύπτει το πρόσημο στον πίνακα μεταβολών)
2) ποια είναι τα αντιπαράδειγματα που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο
Ευχαριστώ εκ των προτέρων δε όποιον έχει χρόνο να ασχοληθεί

Θα σου την λύσω κανονικά.
(δηλαδή άσχετα με αυτά που σε μαθαίνουν και τελικά σε μπερδεύουν)
Είναι f(a)=f(b)=f(c)=0

και για $x\in \mathbb{R}$ είναι $f(x)\geq 0$
Αρα στα a,b,c

έχει τοπικά ελάχιστα που είναι και ολικά.
(αν και δεν ζητάει τα ολικά)
Επειδή f(a)=f(b)=f(c)=0

και

στα

και

η συνέχεια της

μας δίνει ότι έχει ένα τοπικό μέγιστο στο (a,b)

και ένα άλλο στο (b,c)

.
Η

λοιπόν έχει πέντε τοπικά ακρότατα .
Στα ακρότατα αυτά η παράγωγος είναι

.
Αλλά η

είναι πολυώνυμο βαθμού έξι.
Αρα η

είναι πέμπτου βαθμού .
Η εξίσωση f'(x)=0

έχει το πολύ

ρίζες.
Αλλά την εξίσωση την ικανοποιούν ήδη πέντε τοπικά ακρότατα.
Αρα είναι ακριβως αυτά.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 05, 2019 7:44 pm

Η παράγωγος τειλικά είναι η
Τώρα θα κάνεις πίνακα προσήμων περιλαμβάνοντας κάθε παράγοντα ,και για το τριώνυμο να παρατηρήσεις ότι έχει θετικό συντελεστή του τετραγώνου.

Αν θέλουμε δείχνουμε την ύπαρξη των άλλων δύο ρίζών της παραγώγου χωρίς Rolle.

Είναι $\Delta =4(a+b+c)^2-12(ab+bc+ca)=4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)>0$ αφού $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\dfrac{1}{2}\left ( (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right )>0$ .

Edit: Συνεχίζοντας το παραπάνω...

Αν θέσουμε f(x)=3 x^2-2(a+b+c)x+ab+ac+bc

έχουμε

Από τις παραπάνω και το Θεώρημα Bolzano έχουμε ότι οι ρίζες του τριωνύμου f(x)

βρίσκονται στα (a,b),(b,c)

.

Η συνέχεια όπως οι προηγούμενοι.

Aleksis2001 · #5

Σας ευχαριστώ πολύ!
Αν μπορούσε να με βοηθήσει και στο 2ο θέμα μου αν έχει χρόνο φυσικά διότι όσο πιεσμένος είναι ο δικός μου άλλο τόσο είναι και ο δικός σας και περισσότερο θα έλεγα

Aleksis2001 · #6

Κάποιος ?

Λάμπρος Μπαλός · #7

Δες εδώ
https://lisari.blogspot.com/2019/06/2019.html?m=1

Επείγον

Επείγον

Re: Επείγον

Re: Επείγον

Re: Επείγον

Re: Επείγον

Re: Επείγον

Re: Επείγον

Μέλη σε σύνδεση