Σελίδα 1 από 1

Δ5 για παραλία

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιουν 29, 2019 3:09 pm
από Al.Koutsouridis
Δίνεται η συνάρτηση f:  \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} με τύπο f \left ( x \right) = \left ( x-1\right ) \ln \left ( x^2-2x+2\right ) -x+2 των πανελλαδικών εξετάσεων.

Για ποιά c \geq 2 έχει λύση το σύστημα

\left\{\begin{matrix} 
f^{\prime \prime } \left ( x\right ) +f^{\prime \prime } \left ( y\right ) =0 
\\  
x^2+y^2=c 
\end{matrix}\right. ;

Re: Δ5 για παραλία

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 05, 2019 9:15 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Επαναφορά.

Re: Δ5 για παραλία

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 05, 2019 10:06 pm
από harrisp
Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιουν 29, 2019 3:09 pm
Δίνεται η συνάρτηση f:  \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} με τύπο f \left ( x \right) = \left ( x-1\right ) \ln \left ( x^2-2x+2\right ) -x+2 των πανελλαδικών εξετάσεων.

Για ποιά c \geq 2 έχει λύση το σύστημα

\left\{\begin{matrix} 
f^{\prime \prime } \left ( x\right ) +f^{\prime \prime } \left ( y\right ) =0 
\\  
x^2+y^2=c 
\end{matrix}\right. ;
Είναι f''(x)=\dfrac {2(x-1)[(x-1)^2+3]}{[(x-1)^2+1]^2} ή

f''(x+1)=\dfrac {2x(x^2+3)}{(x^2+1)^2}.

Είναι λοιπόν τώρα άμεσο ότι f''(k+1)+f''(-k+1)=0 για κάθε πραγματικό k. Διαλέγουμε λοιπον x=k+1,y=1-k και τώρα για κάθε c\geq 2 υπάρχει ζεύγος (x,y) που ικανοποιεί την ζητούμενη.

Re: Δ5 για παραλία

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 05, 2019 11:00 pm
από KAKABASBASILEIOS
Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιουν 29, 2019 3:09 pm
Δίνεται η συνάρτηση f:  \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} με τύπο f \left ( x \right) = \left ( x-1\right ) \ln \left ( x^2-2x+2\right ) -x+2 των πανελλαδικών εξετάσεων.

Για ποιά c \geq 2 έχει λύση το σύστημα

\left\{\begin{matrix} 
f^{\prime \prime } \left ( x\right ) +f^{\prime \prime } \left ( y\right ) =0 
\\  
x^2+y^2=c 
\end{matrix}\right. ;
...καλησπέρα :logo: έκανα μια προσπάθεια στο Δ5 του Αλέκου βγάζοντας αναγκαία πόσο πρέπει να είναι το c...

Είναι μετά από πράξεις {f}''(x)=\frac{2(x-1)}{{{x}^{2}}-2x+2}+\frac{4(x-1)}{{{({{x}^{2}}-2x+2)}^{2}}}=\frac{2(x-1)}{{{x}^{2}}-2x+2}\left( 1+\frac{2}{{{x}^{2}}-2x+2} \right) και

απ όπου {f}''(x)=0\Leftrightarrow x=1 και {f}''(x)>0\Leftrightarrow x>1 και {f}''(x)<0\Leftrightarrow x<1 επομένως η

\displaystyle fπαρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής το A(1,1) .

Παρατηρούμε ότι {f}''(1+x)=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}\left( 1+\frac{2}{{{x}^{2}}+1} \right) και

{f}''(1-x)=-\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}\left( 1+\frac{2}{{{x}^{2}}+1} \right) δηλαδή ισχύει {f}''(1+x)+{f}''(1-x)=0,\,\,x\in R

Άρα αν x=1+\alpha ,\,\,\alpha \in R τότε για y=1-\alpha το ζεύγος (1+\alpha ,\,\,1-a) είναι λύση της εξίσωσης

{{f}^{\prime \prime }}\left( x \right)+{{f}^{\prime \prime }}\left( y \right)=0 και για να είναι λύση και της

{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=c πρέπει {{(1+a)}^{2}}+{{(1-a)}^{2}}=c\Leftrightarrow c=2{{a}^{2}}+2

...μοναδικότητα.;;;; τώρα είδα και του χαρι την αφήνω για το κόπο...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Re: Δ5 για παραλία

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 06, 2019 4:25 pm
από Al.Koutsouridis
Η άσκηση κατασκευάστηκε έχοντας υπόψη τις ιδιότητες της συμμετρίας της γραφικής παράστασης της f(x).

Η f \left ( x \right) = \left ( x-1\right ) \ln \left ( x^2-2x+2\right ) -x+2 = \left ( x-1\right ) \ln \left ( (x-1)^2+1\right ) -(x-1)+1 με δυο κατάλληλες μετατοπίσεις, μια προς τα αριστερά
κατά 1 (x-1 \mapsto x) και μια προς τα κάτω κατά 1 μας δίνει την συνάρτηση g \left ( x \right) = x \ln \left ( x^2+1\right ) -x, η οποία είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι είναι περιττή. Άρα θα έχει κέντρο συμμετρίας το \left (0,0 \right) και επομένως η f(x) θα έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο \left (1,1 \right).

Για τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων που έχουν κέντρο συμμετρίας όμως, ισχύει
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Μάιος 09, 2019 1:49 pm

Το (k,f(k)) είναι κέντρο συμμετρίας αν και μόνο αν

για κάθε πραγματικό x είναι f(x+k)+f(k-x)=2f(k)
Σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα θα έχουμε

f(x+1)+f(1-x)=2f(1) \quad \Rightarrow \left (f(x+1)+f(1-x) \right )^{\prime }=\left ( 2f(1) \right )^{\prime}  \quad \Rightarrow

 f^{\prime}(x+1)-f^{\prime}(1-x) =0 \quad  \Rightarrow \quad f^{\prime \prime }(x+1)+f^{\prime \prime}(1-x) =0

Άρα τα ζεύγη της μορφής \left (t, 2-t \right ) είναι λύσεις της πρώτης εξίσωσης του συστήματος κτλ...

Θα μπορούσε να είχε δοθεί πιο περίπλοκη συνάρτηση, όπου θα ήταν δύσκολο να υπολογιστεί παράγωγόγος της και δεν θα ήταν προφανείς οι αντικαταστάσεις.