κορεάτικες...

#1

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 23, 2019 1:54 pm

21. Για την παραγωγίσιμη σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς συνάρτηση , που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες, ποιά είναι η τιμή ; [4 μόρια]

α) Για όλους τους πραγματικούς ισχύει $\quad 2\{f(x) \}^{2} \cdot f^{\prime}(x)= \ { \{ f(2x+1) \}^{2} \cdot f^{\prime}(2x+1)$
β) $f\left ( -\dfrac{1}{8}\right ) =1$ ,

$\displaystyle{\textcircled{1} \quad \dfrac{\sqrt[3]{3}}{6} \quad \quad \quad \textcircled{2} \quad \dfrac{\sqrt[3]{3}}{3} \quad \quad \quad \textcircled{3} \quad \dfrac{\sqrt[3]{3}}{2} \quad \quad \quad \textcircled{4} \quad \dfrac{2\sqrt[3]{3}}{3} \quad \quad \quad \textcircled{5}\quad \dfrac{5 \sqrt[3]{3}}{6} }$

Επαναφορά για μαθητές.

papamixalis · #2

Καλησπέρα

Μιας και όσο ζούμε μαθαίνουμε και επειδή δεν έχει δοθεί απάντηση κάνω μια απόπειρα

Βλέπουμε ότι η δεδομένη σχέση μετασχηματίζεται ως εξής :
$(\dfrac{2}{3}f^3(x))'=(\dfrac{1}{6}f^3(2x+1))'$ Άρα υπάρχει σταθερά

ώστε
$\dfrac{2}{3}f^3(x)=\dfrac{1}{6}f^3(2x+1) +c$

Παρατηρούμε ότι

$4f^3(\dfrac{-1}{8})=f^3(\dfrac{3}{4})+6c$
για $x=\dfrac{-1}{8}$

$4f^3(\dfrac{3}{4})=f^3(\dfrac{5}{2})+6c$
για $x=\dfrac{3}{4}$

$4f^3(\dfrac{5}{2})=f^3(6)+6c$
για $x=\dfrac{5}{2}$

Λύνοντας από κάτω προς τα πάνω για τις άγνωστες τιμές της

ως προς

καταλήγουμε ότι

$c=\dfrac{28}{63}$

Βάζοντας όπου x=-1

στην αρχική σχέση προκύπτει ότι $f^3(-1)=2*\dfrac{28}{63}=\dfrac{8}{9}$
Άρα $f(-1)=\dfrac{2}{\sqrt[3]{9}}=\dfrac{2}{3^\dfrac{2}{3}}=\dfrac{2*3^\dfrac{1}{3}}{3}$
Δηλαδή η απάντηση

Ελπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι,
Φιλικά,
Μιχάλης

κορεάτικες...

κορεάτικες...

Re: κορεάτικες...

Μέλη σε σύνδεση