ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty}$

Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο...
Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο ...

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τρί Ιούλ 09, 2019 9:47 pm Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty}$

Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο...
Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο ...

Με χρήση του γεγονότος ότι $\displaystyle{\sqrt{x^{2}+1}}-x = \frac {1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} \to 0}$ καθώς $x\to \infty$ και του $\dfrac {e^y-1}{y} \to 1$ καθώς $y\to 0$ , έχουμε

$\displaystyle{ e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x}= \frac {e^x}{x}\cdot \frac {e^{\sqrt{x^{2}+1}-x}-1 }{\sqrt{x^{2}+1}-x}}\cdot \frac {x}{ \sqrt{x^{2}+1}+x}$

Οι παράγοντες του τελευταίου τείνουν στα $+\infty$ ,

και $\frac {1}{2}$ , αντίστοιχα. Άρα το όριο είναι άπειρο.

Edit. Διόρθωση τυπογραφικού.

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τρί Ιούλ 09, 2019 9:47 pm Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty}$

Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο...
Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο ...

...σίγουρα έχει ξανασυζητηθεί, άντε να βρεις τώρα...αλλά δίνω μια αντιμετώπιση που σκέφτηκα τώρα ...

Έστω η συνάρτηση $f(t)={{e}^{\sqrt{t}}},t\ge 0$ που είναι παραγωγίσιμη με ${f}'(t)=\frac{{{e}^{\sqrt{t}}}}{2\sqrt{t}},\,\,t>0$

οπότε σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής στο διάστημα $[{{x}^{2}},\,\,{{x}^{2}}+1]$ υπάρχει

$\xi \in ({{x}^{2}},\,\,{{x}^{2}}+1)$ ώστε ${f}'(\xi )=\frac{f({{x}^{2}}+1)-f({{x}^{2}})}{{{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}}={{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}-{{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}}}}={{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}-{{e}^{|x|}}$

Τώρα είναι ${f}''(t)=\frac{1}{2}\left( \frac{{{e}^{\sqrt{t}}}\sqrt{t}-{{e}^{\sqrt{t}}}}{2t\sqrt{t}} \right)=\frac{{{e}^{\sqrt{t}}}(\sqrt{t}-1)}{4t\sqrt{t}}$

απ όπου εύκολα βλέπουμε ότι ${f}''(t)>0\Leftrightarrow t>1$ επομένως η {f}'

είναι γνήσια αύξουσα στο $[1,\,+\infty )$

και έτσι αφού ${{x}^{2}}<\xi <{{x}^{2}}+1$ (για x>1

) θα ισχύει ${f}'({{x}^{2}})<{f}'(\xi )<{f}'({{x}^{2}}+1)$ άρα και

$\frac{{{e}^{x}}}{2x}<{{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}-{{e}^{x}},\,\,\,x>1$ και επειδή

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{2x}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}{{e}^{x}}=+\infty$

λόγω της ανισότητας είναι και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}-{{e}^{x}})=+\infty$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

harrisp · #4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τρί Ιούλ 09, 2019 9:47 pm Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty}$

Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο...
Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο ...

Όμορφο!

Από ΘΜΤ στο $[x, \sqrt {x^2+1}]$ για την f(x)=e^x

υπάρχει $k\in (x, \sqrt {x^2+1})$ ώστε

$e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x}=e^k(\sqrt {x^2+1}-x)$ .

Όμως k>x

άρα

$e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x}>e^x(\sqrt {x^2+1}-x)$ .

Όμως $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty} \dfrac {e^x}{x}=+\infty$ και

$\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty} {x}({\sqrt{x^2+1}-x})=\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}\dfrac {x}{\sqrt{x^2+1}+x}$

και διαιρώντας με

προκύπτει ότι το όριο είναι $\dfrac {1}{2}$ .

Ο πολλαπλασιασμός των δύο τελευταίων δίνει $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty} e^x(\sqrt {x^2+1}-x)=+\infty$ και το ζητούμενο είναι άμεσο.

Tolaso J Kos · #5

KAKABASBASILEIOS έγραψε: Τετ Ιούλ 10, 2019 12:06 am
...σίγουρα έχει ξανασυζητηθεί, άντε να βρεις τώρα...αλλά δίνω μια αντιμετώπιση που σκέφτηκα τώρα ...

Γιατί όχι ; Εδώ είναι ...

Τσιαλας Νικολαος · #6

Ξεθάβω το πολύ ωραίο αυτό θέμα λόγω μείωσης της ύλης! Δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί κάπου αλλού αλλά θα ήταν ωραίο να συζητήσουμε πως μπορούμε να βρούμε το όριο του e^x/x

χωρίς χρήση Dlh. Η σκέψη μου ήρθε μετά από συζήτηση επί του θέματος με μια μαθήτρια

Υ.γ: είμαι από κινητό και τα κάνω λίγο μαντάρα με το latex

Christos.N · #7

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Δευ Απρ 13, 2020 4:52 pm Ξεθάβω το πολύ ωραίο αυτό θέμα λόγω μείωσης της ύλης! Δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί κάπου αλλού αλλά θα ήταν ωραίο να συζητήσουμε πως μπορούμε να βρούμε το όριο του χωρίς χρήση Dlh. Η σκέψη μου ήρθε μετά από συζήτηση επί του θέματος με μια μαθήτρια

Υ.γ: είμαι από κινητό και τα κάνω λίγο μαντάρα με το latex

Αφού για κάθε x>0

ισχύει $e^x>1+x+\frac{1}{2}x^2$ βλέπε σχ.Β 3ii παρ.2.7 μπορούμε να βρούμε το $\underset{x\to+\infty}{lim} \dfrac{e^x}{x}$ με κατάλληλη ιδιότητα.

Τσιαλας Νικολαος · #8

Christos.N έγραψε: Δευ Απρ 13, 2020 5:55 pm
Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Δευ Απρ 13, 2020 4:52 pm Ξεθάβω το πολύ ωραίο αυτό θέμα λόγω μείωσης της ύλης! Δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί κάπου αλλού αλλά θα ήταν ωραίο να συζητήσουμε πως μπορούμε να βρούμε το όριο του χωρίς χρήση Dlh. Η σκέψη μου ήρθε μετά από συζήτηση επί του θέματος με μια μαθήτρια

Υ.γ: είμαι από κινητό και τα κάνω λίγο μαντάρα με το latex
Αφού για κάθε ισχύει $e^x>1+x+\frac{1}{2}x^2$ βλέπε σχ.Β 3ii παρ.2.7 μπορούμε να βρούμε το $\underset{x\to+\infty}{lim} \dfrac{e^x}{x}$ με κατάλληλη ιδιότητα.

Αυτό ακριβώς είχα στο νου μου!!

ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Μέλη σε σύνδεση