Ύπαρξη αριθμών x_n
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Ύπαρξη αριθμών x_n
Έστω συνεχής συνάρτηση και παραγωγίσιμη στο . Θεωρούμε ότι , . Δείξατε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς υπάρχουν διακεκριμένοι αριθμοί τέτοιοι ώστε
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ύπαρξη αριθμών x_n
Τόλη πες την αλήθεια! Δεν ήθελες να την βάλεις σε αυτό τον φάκελο ε;Tolaso J Kos έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 31, 2019 7:27 pmΈστω συνεχής συνάρτηση και παραγωγίσιμη στο . Θεωρούμε ότι , . Δείξατε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς υπάρχουν διακεκριμένοι αριθμοί τέτοιοι ώστε
Κατ'αρχάς διαιρώντας με μπορούμε να γράψουμε την προς απόδειξη σχέση ως
όπου τώρα και
Αρκεί να βρούμε τώρα κατάλληλους αριθμούς στο ώστε
Από το ΘΜΤ έπειτα θα πάρουμε το ζητούμενο. Τα θα τα επιλέξουμε έτσι ώστε
και . Για να πετύχουμε τη δεύτερη θα πρέπει, επειδή ,
να έχουμε εξασφαλισμένο ότι το σύνολο τιμών της περιέχει το Από την υπόθεση αυτό δεν
προκύπτει οπότε θεωρούμε την
.
Για την καινούρια συνάρτηση παρατηρούμε ότι ισχύει είναι συνεχής και επομένως
To σημαντικότερο. Για την καινούρια συνάρτηση το συμπέρασμα παραμένει
αναλλοίωτο (εύκολο να ελεγχθεί). Αν υπάρχουν για την υπάρχουν και
για την και αντίστροφα. Άρα δουλεύουμε με την Παίρνουμε τώρα και επιλέγουμε
έτσι ώστε Το είναι εξασφαλισμένο από το γεγονός ότι
και από την
Επειδή μπορούμε να επιλέξουμε στο ώστε
άρα και . Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέχρι το
όπου θα πάρουμε και ολοκληρώνουμε την απόδειξη με το ΘΜΤ.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ύπαρξη αριθμών x_n
Θα δώσω μια απόδειξη εκτός φακέλου που την θεωρώ πολύ πιο φυσιολογική.
Όπως ο Λάμπρος
Διαιρώντας με μπορούμε να γράψουμε την προς απόδειξη σχέση ως
όπου τώρα και
Αν η δεν έχουμε να δείξουμε τίποτα γιατί μπορούμε να πάρουμε όποια σημεία θέλουμε.
Διαφορετικά εύκολα μπορεί να δειχθεί ότι υπάρχει
ώστε
.
θεωρώντας ότι μπορούμε να υποθέσουμε ότι
Ετσι το μπορεί να επιλεγεί ώστε
Παίρνουμε διαφορετικά σημεία ώστε
βλέπουμε ότι
θέλουμε να βρούμε διαφορετικό των υπολοίπων ώστε
η ισοδύναμα
επειδή το μπορεί να επιλεγεί ώστε
και
το θεώρημα του Darboux μας εξασφαλίζει την ύπαρξη του και προφανώς είναι διαφορετικό των προηγουμένων.
Σημείωση.
Αλλάξανε καποιες σχέσεις στην αρχική ανάρτηση
Όπως ο Λάμπρος
Διαιρώντας με μπορούμε να γράψουμε την προς απόδειξη σχέση ως
όπου τώρα και
Αν η δεν έχουμε να δείξουμε τίποτα γιατί μπορούμε να πάρουμε όποια σημεία θέλουμε.
Διαφορετικά εύκολα μπορεί να δειχθεί ότι υπάρχει
ώστε
.
θεωρώντας ότι μπορούμε να υποθέσουμε ότι
Ετσι το μπορεί να επιλεγεί ώστε
Παίρνουμε διαφορετικά σημεία ώστε
βλέπουμε ότι
θέλουμε να βρούμε διαφορετικό των υπολοίπων ώστε
η ισοδύναμα
επειδή το μπορεί να επιλεγεί ώστε
και
το θεώρημα του Darboux μας εξασφαλίζει την ύπαρξη του και προφανώς είναι διαφορετικό των προηγουμένων.
Σημείωση.
Αλλάξανε καποιες σχέσεις στην αρχική ανάρτηση
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες