Μέγιστο αθροίσματος

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10960
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο αθροίσματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 24, 2019 1:48 pm

Μεγιστο  άθροισμα.png
Μεγιστο άθροισμα.png (11.19 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές
Στην διάμετρο AB=10 ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο T , ώστε AT=9 .

Σημείο S κινείται πάνω στο τόξο . Βρείτε το μέγιστο του αθροίσματος : SA+ST .

Προαιρετικά μπορείτε να κάνετε κάποιο σχόλιο για κάτι που τυχόν σας εντυπωσίασε :rolleyes:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8523
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο αθροίσματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 24, 2019 5:50 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 24, 2019 1:48 pm
Μεγιστο άθροισμα.pngΣτην διάμετρο AB=10 ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο T , ώστε AT=9 .

Σημείο S κινείται πάνω στο τόξο . Βρείτε το μέγιστο του αθροίσματος : SA+ST .

Προαιρετικά μπορείτε να κάνετε κάποιο σχόλιο για κάτι που τυχόν σας εντυπωσίασε :rolleyes:
Έστω ST=x.
Μέγιστο άθροισμα.Κ.png
Μέγιστο άθροισμα.Κ.png (16.01 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές
Με Π. Θ στο ABS είναι SB^2=100-SA^2 και με \displaystyle {\rm{Stewart}} στο ίδιο τρίγωνο έχω:

\displaystyle A{S^2} + 9{(100 - AS)^2} = 10{x^2} + 90 \Leftrightarrow AS = \frac{1}{2}\sqrt {5(81 - {x^2})}

Η \displaystyle f(x) = SA + ST = x + AS = x+\frac{1}{2}\sqrt {5(81 - {x^2})} ,0 < x < 9 έχει \displaystyle f'(x) = 1 - \frac{{x\sqrt 5 }}{{2\sqrt {81 - {x^2}} }}

και παρουσιάζει για \boxed{x=6} μέγιστη τιμή ίση με \boxed{f(6)= {(SA + ST)_{\max }} = \frac{{27}}{2}}



Για το προαιρετικό, αν \displaystyle A\widehat TS = \theta τότε \boxed{\cos \theta  = {\sin ^2}B = \frac{9}{{16}}}
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Οκτ 24, 2019 6:27 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μέγιστο αθροίσματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Οκτ 24, 2019 6:10 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 24, 2019 1:48 pm
Μεγιστο άθροισμα.pngΣτην διάμετρο AB=10 ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο T , ώστε AT=9 .

Σημείο S κινείται πάνω στο τόξο . Βρείτε το μέγιστο του αθροίσματος : SA+ST .

Προαιρετικά μπορείτε να κάνετε κάποιο σχόλιο για κάτι που τυχόν σας εντυπωσίασε :rolleyes:
Υπάρχουν πολλοί τρόποι αλλά ας δούμε έναν χωρίς παραγώγους: Με κέντρο των αξόνων το κέντρο του κύκλου, είναι \displaystyle{A(-5,0), \, T(4,0) } και x^2+y^2=25.

Είναι με C-S

\displaystyle{ SA+ST= \sqrt {(x+5)^2+y^2} + \sqrt {(x-4)^2+y^2} = \sqrt {50+10x} + \sqrt {41-8x}  =}

\displaystyle{ \sqrt {10} \sqrt {5+x} + \sqrt 8 \sqrt {41/8-x} \le \sqrt {10+8} \sqrt {5+x+41/8-x} = \sqrt {18} \sqrt {5+41/8} =\frac { 27}{2}}

με ισότητα (αν δεν έκανα λάθος τις πράξεις) όταν x=5/8. Και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6795
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο αθροίσματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Οκτ 26, 2019 1:23 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 24, 2019 1:48 pm
Μεγιστο άθροισμα.pngΣτην διάμετρο AB=10 ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο T , ώστε AT=9 .

Σημείο S κινείται πάνω στο τόξο . Βρείτε το μέγιστο του αθροίσματος : SA+ST .

Προαιρετικά μπορείτε να κάνετε κάποιο σχόλιο για κάτι που τυχόν σας εντυπωσίασε :rolleyes:
Ανάλυση
μέγιστο αθροίσματος_Ανάλυση.png
μέγιστο αθροίσματος_Ανάλυση.png (18.24 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές


Προεκτείνω την AS προς το S κατά SE = ST και έστω F το άλλο σημείο τομής της μεσοκάθετης στο TE με το ημικύκλιο .

SA + ST = AE \leqslant FA + FE συνεπώς η πιο μεγάλη τιμή του αθροίσματος επιτυγχάνεται όταν S \equiv F

Τότε :
μέγιστο αθροίσματος_υπολογισμός.png
μέγιστο αθροίσματος_υπολογισμός.png (22.87 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές


Η SM εφάπτεται του ημικυκλίου Τα τρίγωνα: TAE, OAS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,STE, είναι ισοσκελή , όμοια και OS//TE.

Αν SA = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST = SE = b θα ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AS}}{{SE}} = \frac{{AO}}{{OT}} = \frac{5}{4}\,\,\left( {OS//TE} \right) \hfill \\ 
  \frac{{AS}}{{TE}} = \frac{{SO}}{{ES}}\, = \frac{5}{b}\,\,\left( {\vartriangle OAS \approx \vartriangle STE} \right)\, \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{a}{b} = \frac{5}{4}\, \hfill \\ 
  \frac{a}{9} = \frac{5}{b}\, \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  a = \frac{{15}}{2}\, \hfill \\ 
  b = 6\, \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{{{\left( {AS + ST} \right)}_{\max }} = 6 + \frac{{15}}{2} = \frac{{27}}{2}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1697
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μέγιστο αθροίσματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Οκτ 26, 2019 10:21 am

Εξαιρετική καθαρή γεωμετρική λύση Νίκο :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης