Δύο φορές 1

KARKAR · #1

: Δύο φορές 1.png (34.98 KiB) Προβλήθηκε 520 φορές

Σημείο

κινείται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{1}{x^2+1} , x\geq 0$ .

Η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο

, τέμνει τους ημιάξονες Ox, Oy

στα σημεία A ,B

.

Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου OAB

, θα πάρει δύο ακριβώς φορές την τιμή

.

#2

Η εφαπτομένη στο $S\left( {s,\dfrac{1}{{{s^2} + 1}}} \right)$ έχει εξίσωση :

$\boxed{y - \frac{1}{{{s^2} + 1}} = \frac{{ - 2s}}{{{{\left( {{s^2} + 1} \right)}^2}}}\left( {x - s} \right)}$ που για $y = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x = 0$ δίδει :

$A\left( {\dfrac{{3{s^2} + 1}}{{2s}},0} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,B\left( {0,\dfrac{{3{s^2} + 1}}{{{{\left( {{s^2} + 1} \right)}^2}}}} \right)$ .

Η εξίσωση του εμβαδού $\boxed{g(s) = \dfrac{1}{2}OA \cdot OB}$ με το

μας οδηγεί στη εξίσωση :

$g(s) - 1 = 0 \Leftrightarrow - {\left( {s - 1} \right)^2}\left( {4{s^3} - {s^2} + 2s - 1} \right) = 0$ έτσι έχουμε : s = 1

(μια διπλή ρίζα)

Κι αφού η συνάρτηση $w(s) = 4{s^3} - {s^2} + 2s - 1\,\,\,,s > 0$ έχει παράγωγο :

$w'(s) = 6\left( {2{s^2} - s + 1} \right) > 0$
( τριώνυμο με αρνητική διακρίνουσα και συντελεστή δευτεροβαθμίου όρου 2 > 0

)

η συνάρτηση

είναι γνήσια αύξουσα , έχει μια ρίζα στο διάστημα (0,1)

δεδομένου ότι : $w(0) = - 1 < 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,w(1) = 4 > 0$

Άρα η ρίζα αυτή είναι μοναδική

Συνολικά έχει λοιπόν ακριβώς δύο ρίζες .

Δύο φορές 1

Δύο φορές 1

Re: Δύο φορές 1

Μέλη σε σύνδεση