Συστηματική εργασία

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11639
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Συστηματική εργασία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 24, 2019 7:21 am

Βρείτε πόσες πραγματικές λύσεις έχει το σύστημα : \left\{\begin{matrix}
\dfrac{x}{y} +xy&=40 \\ 
\\
x+2y^2 & =30
\end{matrix}\right.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12251
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συστηματική εργασία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 24, 2019 8:29 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 24, 2019 7:21 am
Βρείτε πόσες πραγματικές λύσεις έχει το σύστημα : \left\{\begin{matrix} 
\dfrac{x}{y} +xy&=40 \\  
\\ 
x+2y^2 & =30 
\end{matrix}\right.
H πρώτη ως πρωτοβάθμια ως προς x ισοδυναμεί με την \displaystyle{x=\dfrac {40y}{1+y^2}}. Στην δεύτερη δίνει \displaystyle{ \dfrac {40y}{1+y^2}+ 2y^2=30}, ισοδύναμα
\displaystyle{2y^4-28y^2+40y -30=0} ή αλλιώς \displaystyle{2(y-3)(y^3+3y^2-5y+5)=0}. Μία ρίζα η y=3. H τριτοβάθμια έχει μία πραγματική ρίζα και δύο μιγαδικές. Αυτό φαίνεται εύκολα (αλλά εκτός ύλης) με Διακρίνουσα αλλά μπορούμε και με παραγώγους. Συγκεκριμένα έχει τοπικό ελάχιστο για x=-1+\frac {2}{3}\sqrt 6 που η τιμή του \displaystyle{57-\frac {32}{9}\sqrt 6} είναι θετική. Οι πράξεις είναι πολλές και δεν αξίζει η πληκτρολόγηση.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4653
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Συστηματική εργασία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Δεκ 24, 2019 7:10 pm

Καλησπέρα σε όλους. Επιχειρώ μια συστηματική προσέγγιση με συναρτήσεις.

Για να έχει νόημα το σύστημα πρέπει  \displaystyle x,\;y \ne 0 .

Αλλάζω τη θέση των x, y.

Η πρώτη εξίσωση γράφεται  \displaystyle y = \frac{{40x}}{{{x^2} + 1}} και η δεύτερη γράφεται  \displaystyle y = 30 - 2{x^2}

Έστω η συνάρτηση  \displaystyle h\left( x \right) = \frac{{40x}}{{{x^2} + 1}} + 2{x^2} - 30 , με  \displaystyle x \in R .

Αναζητάμε τις ρίζες της h(x) = 0.

H h(x) έχει παράγωγο  \displaystyle h'\left( x \right) = \frac{{40 - 40{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + 4x = \frac{{4\left( {{x^5} + 2{x^3} - 10{x^2} + x + 10} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} .

Τώρα μελετάμε τη συνάρτηση  \displaystyle k\left( x \right) = {x^5} + 2{x^3} - 10{x^2} + x + 10 με  \displaystyle x \in R .

Στο  \displaystyle \left( { - \infty ,\,0} \right] :

Είναι  \displaystyle k\left( { - 1} \right) =  - 4,\;\;k\left( 0 \right) = 10 , οπότε από Θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα  \displaystyle \xi  \in \left( { - 1,\;0} \right) , τέτοιο ώστε  \displaystyle k\left( \xi  \right) = 0 .

Η k(x) έχει παράγωγο  \displaystyle k'\left( x \right) = 5{x^4} + 6{x^2} - 20x + 1. Είναι  \displaystyle k'\left( x \right) > 0 για x < 0, οπότε η k(x) είναι γνησίως αύξουσα στο  \displaystyle \left( { - \infty ,\,0} \right] , άρα η ρίζα είναι μοναδική στο διάστημα αυτό.

Άρα k(x) < 0 για  \displaystyle x < \xi και  \displaystyle k\left( x \right) > 0 για  \displaystyle \xi  < x \le 0 .

Στο (0, 1):
Για 0<x<1 είναι  \displaystyle 10 - 10{x^2} > 0 \Rightarrow k\left( x \right) > 0 για  \displaystyle x \in \left( {0,\;1} \right) .

Στο  \displaystyle \left[ {1,\; + \infty } \right) :
Η k(x) έχει παράγωγο  \displaystyle k'\left( x \right) = 5{x^4} + 6{x^2} - 20x + 1 και δεύτερη παράγωγο  \displaystyle k''\left( x \right) = 20{x^3} + 12x - 20 , που είναι θετική για  \displaystyle x \ge 1 , άρα η  \displaystyle k'\left( x \right) είναι γνησίως αύξουσα για  \displaystyle x \ge 1 , άρα k(x) \ge k(1) = 3>0.

Οπότε η k(x)=0 άρα και η  \displaystyle h'\left( x \right) = 0 έχει μοναδική ρίζα  \displaystyle \xi  \in \left( { - 1,\;0} \right) και είναι  \displaystyle h'\left( x \right) < 0 για  \displaystyle x < \xi και  \displaystyle h'\left( x \right) > 0 για  \displaystyle x > \xi .

Οπότε η h(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο  \displaystyle \left( { - \infty ,\;\xi } \right] και γνησίως αύξουσα στο  \displaystyle \left[ {\xi ,\; + \infty } \right) .

Είναι  \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } h\left( x \right) =  + \infty και h(-1) = -48, h(0) =–30, οπότε έχει από μια ρίζα σε κάθε διάστημα.

Παρατηρούμε ότι η δεύτερη ρίζα είναι το 3.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης