Σελίδα 1 από 1

Μη αρνητική

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 27, 2020 12:23 pm
από KARKAR
Για a>0 , ορίζω την συνάρτηση : f(x)=x-a\sqrt{x}-lnx , x>0 .

α) Αν a=3 , βρείτε το ελάχιστο της f .

β) Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του a , για την οποία το ελάχιστο της f , είναι το 0 .

Re: Μη αρνητική

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 01, 2020 1:13 am
από KAKABASBASILEIOS
KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 27, 2020 12:23 pm
Για a>0 , ορίζω την συνάρτηση : f(x)=x-a\sqrt{x}-lnx , x>0 .

α) Αν a=3 , βρείτε το ελάχιστο της f .

β) Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του a , για την οποία το ελάχιστο της f , είναι το 0 .

...μιά αντιμετώπιση....

α) Είναι f(x)=x-3\sqrt{x}-lnx,x>0 με {f}'(x)=1-3\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}=\frac{2x-3\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}} και

{f}'(x)=0\Leftrightarrow 2x-3\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow 2{{\sqrt{x}}^{2}}-3\sqrt{x}-2=0 απ όπου δεκτή ρίζα

\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4 και επειδή {f}'(x)<0\Leftrightarrow x<4,\,{f}'(x)>0\Leftrightarrow x>4 η

f έχει ελάχιστο το f(4)=4-6-ln4=-2-2ln2

β) Τώρα με f(x)=x-a\sqrt{x}-lnx , x>0 είναι {f}'(x)==\frac{2x-a\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}} και

{f}'(x)=0\Leftrightarrow 2x-a\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow 2{{\sqrt{x}}^{2}}-a\sqrt{x}-2=0 και επειδή

\Delta ={{a}^{2}}+16>0 έχουμε δεκτή ρίζα την \sqrt{{{x}_{0}}}=\frac{a+\sqrt{{{a}^{2}}+16}}{4}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\frac{1}{16}{{(a+\sqrt{{{a}^{2}}+16})}^{2}}

που η fσε αυτό το {{x}_{0}} έχει ελάχιστο το f({{x}_{0}})={{x}_{0}}-a\sqrt{{{x}_{0}}}-ln{{x}_{0}},x>0 και επειδή

{f}'({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow 2{{x}_{0}}-a\sqrt{{{x}_{0}}}-2=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}-a\sqrt{{{x}_{0}}}=2-{{x}_{0}} είναι f({{x}_{0}})=2-{{x}_{0}}-ln{{x}_{0}},{{x}_{0}}>0

Τώρα για την g(x)=2-x-lnx,x>0 που είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με

{g}'(x)=-1-\frac{1}{x}<0,\,\,x>0άρα γνήσια φθίνουσα και

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty ,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(2-(x+lnx))=-\infty

έχει σύνολο τιμών το R άρα έχει και μοναδική ρίζα επομένως υπάρχει τιμή του a , για την οποία το ελάχιστο της f , είναι το 0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης