Με παράμετρο

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με παράμετρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Μαρ 20, 2020 11:25 am

Για \displaystyle k>\frac{1}{e} θεωρούμε την \displaystyle f(x)=\frac{kx+\ln x}{kx-\ln x}
α) Δείξτε ότι η \displaystyle f ορίζεται για κάθε \displaystyle x>0
β) Να βρείτε όλες τις ασύμπτωτες της \displaystyle {{C}_{f}}
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της \displaystyle f και να δείξετε ότι \displaystyle f(x)>1 για \displaystyle x>1
δ) Να δείξετε ότι η \displaystyle f μηδενίζεται ακριβώς μια φορά


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2231
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Με παράμετρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Μαρ 20, 2020 9:16 pm

\displaystyle{f(x)=\frac{k+\frac{lnx}{x}}{k-\frac{lnx}{x}},x>}

Eυκολα βρίσκουμε ότι η \displaystyle{lnx/x} παρουσιάζει max to \displaystyle{1/e} και συνεπως \displaystyle{lnx/x\le1/e<k} αρα \displaystyle{D_f=(0,+\infty)}

\displaystyle{ a_1=\lim_{x\to +\infty}f(x)/x=(1)0=0,b_1=\lim_{x\to +\iy}f(x)=1} αρα η \displaystyle{y=1} είναι οριζόντια ασύμπτωτος

\displaystyle{a_2=1/0^+(-1)=-\infty}

\displaystyle{\lim_{x\to 0^+}f(x)=-1,\lim_{x\to +\infty}f(x)=1,f'(x)=(1-lnx)h(x)} οπου \displaystyle{h>0}

\displaystyle{f(D_f)=(-1,f(e)] , f(e)=ke+1/ke-1}

Aρκεί \displaystyle{kx+lnx>kx-lnx}\displaystyle{lnx>0} που ισχυει αφου \displaystyle{x>1}

Αρκεί η \displaystyle{lnx+kx=g(x)} να εχει μια μόνον ρίζα οταν \displaystyle{k>1/e}

η \displaystyle{g(x)} είναι γνησια αύξουσα kαι \displaystyle{\lim_{x\to 0^+}g(x)=-\infty} αρα υπάρχει \displaystyle{x_0<1:g(x_0)<0 ,g(1)>0}απο ΘΒ το ζητουμενο


Ηλίας Θ.
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Τετ Μάιος 19, 2010 9:23 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Με παράμετρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ηλίας Θ. » Σάβ Μαρ 21, 2020 10:03 am

Λίγο διαφορετικά το (α)
Η y=\dfrac{1}{e}x είναι εφαπτομένη της \sigma (x)=lnx, στο x_0=e*
Κι επειδή η τελευταία είναι κοίλη, ισχύει \dfrac{1}{e}x\geq lnx, \forall x>0
Τελικά αφού k>\dfrac{1}{e} ισχύει kx>\dfrac{1}{e}x\geq lnx, \forall x>0 που μας δίνει ότι ο παρονομαστής της f δεν μηδενίζεται, άρα D_f=\left(0,\;+\infty\right)

*Επειδή ίσως μας παρακολουθούν και μαθητές η ιδέα ήταν να βρούμε εφαπτόμενη της \sigma που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Σχεδόν κλασικό ερώτημα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης