Μέγιστο εμβαδόν

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Μέγιστο εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Μαρ 24, 2020 11:28 pm

Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle f(x)=\ln x,\,\,\,x\in (0,1) και την εφαπτομένη \displaystyle (\varepsilon ) της γ.π. στο σημείο της \displaystyle A(c,f(c)).
Η \displaystyle (\varepsilon ) τέμνει τους άξονες \displaystyle {x}'x\,\,,\,\,{y}'y στα \displaystyle B,C , αντίστοιχα.
α) Έστω \displaystyle E(c),\,\,0<c<1 το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle BOC . Να βρείτε το μέγιστο του \displaystyle E
β) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle E(x)=x\ln x+\frac{3}{e},\,\,x\in (0,1)


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1538
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Μέγιστο εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Μαρ 25, 2020 2:01 am

exdx έγραψε:
Τρί Μαρ 24, 2020 11:28 pm
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle f(x)=\ln x,\,\,\,x\in (0,1) και την εφαπτομένη \displaystyle (\varepsilon ) της γ.π. στο σημείο της \displaystyle A(c,f(c)).
Η \displaystyle (\varepsilon ) τέμνει τους άξονες \displaystyle {x}'x\,\,,\,\,{y}'y στα \displaystyle B,C , αντίστοιχα.
α) Έστω \displaystyle E(c),\,\,0<c<1 το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle BOC . Να βρείτε το μέγιστο του \displaystyle E
β) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle E(x)=x\ln x+\frac{3}{e},\,\,x\in (0,1)
...γειά σου Γιώργη με τα ωραία σου..

α) Είναι η \displaystyle f(x)=\ln x,\,\,\,x\in (0,1) παραγωγίσιμη με {f}'(x)=\frac{1}{x},x\in (0,1)και η εφαπτομένη

\displaystyle (\varepsilon ) στο \displaystyle A(c,f(c)) είναι y-\ln c=\frac{1}{c}(x-c)\Leftrightarrow y=\frac{1}{c}x+\ln c-1 τέμνει τον

{x}'x στο B(\beta ,\,0) και τον {y}'y στο C(0,\,\gamma ) με

0=\frac{1}{c}\beta +\ln c-1\Leftrightarrow \frac{1}{c}\beta =1-\ln c\Leftrightarrow \beta =c(1-\ln c)>0,\,\,0<c<1 και

\gamma =\ln c-1<0,\,\,0<c<1 οπότε το εμβαδό του \displaystyle BOC είναι

E(c)=\frac{1}{2}(OB)(OC)=\frac{1}{2}|\beta ||\gamma |=-\frac{1}{2}c(1-\ln c)(\ln c-1)=\frac{1}{2}c{{(\ln c-1)}^{2}}

Μελετούμε την συνάρτηση g(x)=\frac{1}{2}x{{(\ln x-1)}^{2}},x\in (0,1)που είναι παραγωγίσιμη με

{g}'(x)=\frac{1}{2}{{(lnx-1)}^{2}}+x(lnx-1)\frac{1}{x}=\frac{1}{2}(lnx-1)(lnx+1),x\in (0,1) και και

{g}'(x)=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}(lnx-1)(lnx+1)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{e} και {g}'(x)>0\Leftrightarrow x<\frac{1}{e}

αφού lnx-1<0άρα η gγνήσια αύξουσα στο (0,\,\,\frac{1}{e}] και {g}'(x)<0\Leftrightarrow x>\frac{1}{e} αφού lnx-1<0άρα η

gγνήσια φθίνουσα στο [\frac{1}{e},\,1) άρα στο x=\frac{1}{e} το εμβαδό παίρνει την μέγιστη τιμή με

{{E}_{\max }}=g(\frac{1}{e})=\frac{1}{2}\frac{1}{e}{{(\ln \frac{1}{e}-1)}^{2}}=\frac{2}{e}

β) E(x)=x\ln x+\frac{3}{e}\Leftrightarrow \left( x\ln x+\frac{1}{e} \right)+\left( \frac{2}{e}-E(x) \right)=0(1) και τώρα για την

h(x)=x\ln x-\frac{1}{e},\,\,x\in (0,\,1] είναι παραγωγίσιμη με h(x)=\ln x+1,\,\,x\in (0,\,1] και παρουσιάζει ελάχιστο στο

x=\frac{1}{e}(..εύκολα) άρα ισχύει h(x)\ge h(\frac{1}{e})=\frac{1}{e}\Leftrightarrow h(x)+\frac{1}{e}\ge 0

με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν x=\frac{1}{e} οπότε (1) ισοδύναμα όταν x\ln x+\frac{1}{e}=0 και

\frac{2}{e}-E(x)=0 αφού έχουμε άθροισμα μη αρνητικών αριθμών ίσο με το μηδέν επομένως λύση είναι το x=\frac{1}{e}.

ΦΙλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες