Ποικιλία κυρτότητας

KARKAR · #1

$\bigstar$ Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\displaystyle \left\{\begin{matrix} (lnx)^2\sqrt{x}, & x>0\\ 0& x=0 \end{matrix}\right.$

α) Δείξτε ότι η

είναι συνεχής .

β) Βρείτε τα ακρότατα της

και τα σημεία καμπής της $C_{f}$ .

Η άσκηση είναι προσανατολισμένη κυρίως στο αλγεβρικό μέρος .

Μάρκος Βασίλης · #2

Για τη συνέχεια, από την ανισότητα $\ln x\le x-1$ , για

κοντά στο 0 έχουμε ότι $\ln x<0$ και x-1<0

, επομένως:

$\displaystyle{\ln^2x\ge(x-1)^2\Leftrightarrow(\ln^2x)\sqrt{x}\ge(x-1)^2\sqrt{x} \tag{1}}$

Από την ίδια ανισότητα για $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ στη θέση του

μας δίνει:

$\displaystyle{\ln\frac{1}{\sqrt[6]{x}}\le\frac{1}{\sqrt[6]{x}}-1\Leftrightarrow-\ln\sqrt[6]{x}\leq\frac{1}{\sqrt[6]{x}}-1\Leftrightarrow\ln\sqrt[6]{x}\ge1-\frac{1}{\sqrt[6]{x}}\Leftrightarrow\frac{1}{6}\ln x\ge1-\frac{1}{\sqrt[6]{x}}}$

Για

κοντά στο 0 και τα δύο μέλη είναι αρνητικά, επομένως υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε:

$\displaystyle{\frac{1}{36}\ln^2x\le\left(1-\frac{1}{\sqrt[6]{x}}\right)^2\Leftrightarrow\ln^2x\leq36\left(1-\frac{2}{\sqrt[6]{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)\Leftrightarrow(\ln^2x)\sqrt{x}\leq36\sqrt{x}-72\sqrt[3]{x}+36\sqrt[6]{x}\tag{2}}$

Από τις (1), (2) και το κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι:

$\displaystyle{\lim_{x\to0^+}f(x)=0=f(0).}$

Ποικιλία κυρτότητας

Ποικιλία κυρτότητας

Re: Ποικιλία κυρτότητας

Μέλη σε σύνδεση