Κυβικές τιμές

Al.Koutsouridis · #1

Το κυβικό πολυώνυμο f(x)

με θετικό μεγιστοβάθμειο συντελεστή ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες

α) Ο αριθμός των διαφορετικών πραγματικών ριζών της εξίσωσης f(x)-x=0

, είναι

.

β) Ο αριθμός των διαφορετικών πραγματικών ριζών της εξίσωσης f(x)+x=0

, είναι

.

Αν

και $f^{\prime}(1)=1$ , ποιά είναι η τιμή του f(3)

;

Θέμα 30 (από 30) των φετινών (2020) εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας, για την ομάδα τύπου Α (γενικής).

harrisp · #2

Ωραίο! Αλήθεια πόση ώρα έχουν οι μαθητές να απαντήσουν και τα 30;

Δεν γράφω αναλυτική μαθηματική λύση αφού άλλωστε δεν είναι αυτό το ζητούμενο.

Από το (α) είναι f(x)-x=a(x-r)^2(x-p)

. Ακόμη λόγω του f(0)=0

πρέπει ένα απο τους r,p

να είναι

.

Τώρα πρέπει απο το (β) η a(x-r)^2(x-p)+2x=0

να έχει διπλή ριζα. Αν p=0

βλέπουμε ότι πρέπει η a(x-r)^2+2=0

να έχει ρίζα, άτοπο αφού a>0

. Άρα

.

Οπότε πρέπει η ax^2(x-p)+2x=0

να έχει διπλή ρίζα δηλαδή η διακρίνουσα της ax(x-p)+2=0

να είναι

. Από εδώ βγαίνει ap^2=8

.

Ακόμη αφού f(x)=ax^2(x-p)+x

και

προκύπτει $p=\dfrac {3}{2}$ άρα $a=\dfrac {32}{9}$ .

Τελικά $f(x)=\dfrac {32}{9} x^2(x-\dfrac {3}{2} )+x$ οπότε f(3)=51

Al.Koutsouridis · #3

harrisp έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2020 12:50 am
Αλήθεια πόση ώρα έχουν οι μαθητές να απαντήσουν και τα 30;

Ο διαθέσιμος χρόνος είναι 100

λεπτά. Μερικές πληροφορίες για την εξέταση μπορούν να βρεθούν στη δημοσίευση εδώ.

Κυβικές τιμές

Κυβικές τιμές

Re: Κυβικές τιμές

Re: Κυβικές τιμές

Μέλη σε σύνδεση