Παράγωγος στο 0

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4397
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Παράγωγος στο 0

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Ιουν 01, 2020 12:31 am

Δίδεται η συνάρτηση

\displaystyle{f(x) = \frac{\sqrt{1+2x} \cdot \sqrt[4]{1+4x} \cdot \sqrt[6]{1+6x} \cdot \cdots \cdot \sqrt[100]{1+100x}}{\sqrt[3]{1+3x} \cdot \sqrt[5]{1+5x} \cdot \sqrt[7]{1+7x}  \cdot \cdots \cdot \sqrt[101]{1+101x}}}
  1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού \mathcal{A} της f.
  2. Να βρεθεί η τιμή f'(0).

Πηγή: Facebook.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 288
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Παράγωγος στο 0

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Δευ Ιουν 01, 2020 11:55 am

Για το πεδίο ορισμού θέλουμε τα υπόρριζα μη αρνητικά (με τον λυκειακό ορισμό της ρίζας) επομένως πρέπει (και αρκεί) x\geq-\frac{1}{101}.

Για την παράγωγο τώρα θεωρούμε τη συνάρτηση:

\displaystyle{g(x)=\ln f(x)=\sum_{k=2}^{101}(-1)^k\frac{1}{k}\ln(1+kx),}

η οποία είναι παραγωγίσιμη για x>-\frac{1}{101}, με:

\displaystyle{g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{k=2}^{101}(-1)^k\frac{1}{1+kx}.}

Για x=0 παίρνουμε:

\displaystyle{g'(0)=\frac{f'(0)}{f(0)}=\sum_{k=2}^{101}(-1)^k=0\Rightarrow f'(0)0}

Edit: Τυπόγραφικό.
τελευταία επεξεργασία από Μάρκος Βασίλης σε Δευ Ιουν 01, 2020 1:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 417
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Παράγωγος στο 0

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Ιουν 01, 2020 12:39 pm

H άσκηση προτάθηκε στο Μαθηματικό Εργαστήρι από τον κ.Γιώργο Πολύζο.
Σχετικά https://drive.google.com/file/d/1rzebtD ... QMusXEIpl/


Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Ιουν 01, 2020 12:31 am
Πηγή: Facebook.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης