Παράγωγος στο 0

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η συνάρτηση

$\displaystyle{f(x) = \frac{\sqrt{1+2x} \cdot \sqrt[4]{1+4x} \cdot \sqrt[6]{1+6x} \cdot \cdots \cdot \sqrt[100]{1+100x}}{\sqrt[3]{1+3x} \cdot \sqrt[5]{1+5x} \cdot \sqrt[7]{1+7x} \cdot \cdots \cdot \sqrt[101]{1+101x}}}$

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού $\mathcal{A}$ της .
Να βρεθεί η τιμή .

Πηγή: Facebook.

Μάρκος Βασίλης · #2

Για το πεδίο ορισμού θέλουμε τα υπόρριζα μη αρνητικά (με τον λυκειακό ορισμό της ρίζας) επομένως πρέπει (και αρκεί) $x\geq-\frac{1}{101}$ .

Για την παράγωγο τώρα θεωρούμε τη συνάρτηση:

$\displaystyle{g(x)=\ln f(x)=\sum_{k=2}^{101}(-1)^k\frac{1}{k}\ln(1+kx),}$

η οποία είναι παραγωγίσιμη για $x>-\frac{1}{101}$ , με:

$\displaystyle{g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{k=2}^{101}(-1)^k\frac{1}{1+kx}.}$

Για x=0

παίρνουμε:

$\displaystyle{g'(0)=\frac{f'(0)}{f(0)}=\sum_{k=2}^{101}(-1)^k=0\Rightarrow f'(0)0}$

Edit: Τυπόγραφικό.

mick7 · #3

H άσκηση προτάθηκε στο Μαθηματικό Εργαστήρι από τον κ.Γιώργο Πολύζο.
Σχετικά https://drive.google.com/file/d/1rzebtD ... QMusXEIpl/

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 01, 2020 12:31 am
Πηγή: Facebook.

Παράγωγος στο 0

Παράγωγος στο 0

Re: Παράγωγος στο 0

Re: Παράγωγος στο 0

Μέλη σε σύνδεση