Εύκολο ελάχιστο

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εύκολο ελάχιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιουν 02, 2020 8:53 pm

Εύκολο  ελάχιστο.png
Εύκολο ελάχιστο.png (6.44 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές
Βρείτε την ελάχιστη απόσταση της αρχής των αξόνων , από την γραφική παράσταση της : f(x)=\dfrac{2}{x^2} .



Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Εύκολο ελάχιστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Ιουν 02, 2020 10:05 pm

Έστω r η ζητούμενη ελάχιστη απόσταση. Τότε το σύστημα των εξισώσεων

x^2+y^2=r^2 και y=\dfrac{2}{x^2} έχει λύση.

Είναι

r^2-3=x^2+\dfrac{4}{x^4} -3=\dfrac{(x^2+1)(x^2-2)^2}{x^4}\geq 0

για κάθε x\in \mathbb{R} με x\ne 0, με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν x=\pm \sqrt{2}.

Έτσι, η ζητούμενη ελάχιστη απόσταση είναι \sqrt{3}, που είναι η απόσταση του (0,0) από τα σημεία (\sqrt{2},1) και (-\sqrt{2},1) της C_f.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8042
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εύκολο ελάχιστο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιουν 02, 2020 10:38 pm

Ευκολο ελάχιστο.png
Ευκολο ελάχιστο.png (10.81 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές
Οι αποστάσεις από τους δύο κλάδους λόγω συμμετρίας είναι ίσες και περιορίζομαι για θετικές τιμές του x.

Αν S\left( {x,y} \right) τότε OS = d = d(x) = \sqrt {{x^2} + \dfrac{4}{{{x^4}}}} .

Η συνάρτηση g:\left( {0, + \infty } \right) \to \mathbb{R} με g(x) = {d^2}(x) = {x^2} + \dfrac{4}{{{x^4}}} έχει παράγωγο :

g'\left( x \right) = 2x - \dfrac{{16}}{{{x^5}}} = 2\dfrac{{{x^6} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^6}}}{{{x^5}}} = \dfrac{{2p(x)}}{{{x^5}}}\left( {x - \sqrt 2 } \right), όπου p\left( x \right) > 0 για κάθε x > 0

Προφανώς η g παρουσιάζει ελάχιστο στο x = \sqrt 2 το g\left( {\sqrt 2 } \right) = 3 και άρα

\boxed{{d_{\min }} = \sqrt 3 }


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13472
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εύκολο ελάχιστο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιουν 02, 2020 10:48 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 02, 2020 8:53 pm
Εύκολο ελάχιστο.pngΒρείτε την ελάχιστη απόσταση της αρχής των αξόνων , από την γραφική παράσταση της : f(x)=\dfrac{2}{x^2} .
Έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ (αλλά άντε βρες το) ότι στο ελάχιστο έχουμε ότι η OS είναι κάθετη στην καμπύλη. Άρα αν S\left ( s, \dfrac {2}{s^2}\right ) το ζητούμενο σημείο, τότε αφού η καμπύλη στο S έχει κλίση  -\dfrac {4}{s^3} συμπεραίνουμε

\displaystyle{ \dfrac {\dfrac {2}{s^2}}{s}= \dfrac {s^3}{4}}. Άρα s=\pm \sqrt 2, και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες