Ώρα εφαπτομένης 40

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11712
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 40

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιουν 03, 2020 9:00 am

Ώρα  εφαπτομένης  40.png
Ώρα εφαπτομένης 40.png (10.61 KiB) Προβλήθηκε 459 φορές
Σημείο S κινείται στον δεξιό κλάδο της παραβολής f(x)=ax^2 , a>0 . Η εφαπτομένη της καμπύλης

στο S , τέμνει τον ημιάξονα Ox στο σημείο T . Βρείτε την μέγιστη τιμή της : \tan\widehat{OST} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7344
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 40

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιουν 03, 2020 10:12 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιουν 03, 2020 9:00 am
Ώρα εφαπτομένης 40.pngΣημείο S κινείται στον δεξιό κλάδο της παραβολής f(x)=ax^2 , a>0 . Η εφαπτομένη της καμπύλης

στο S , τέμνει τον ημιάξονα Ox στο σημείο T . Βρείτε την μέγιστη τιμή της : \tan\widehat{OST} .
Ωρα εφαπτομένης 40.png
Ωρα εφαπτομένης 40.png (31.79 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές
Ας είναι S\left( {s,a{s^2}} \right)\,\,\,,\,\,s > 0 και η εφαπτομένη ευθεία \varepsilon της παραβολής : y = f(x) = a{x^2}\,\,\,,a > 0 σ αυτό .

Η κλίση της \varepsilon είναι : {\lambda _2} = 2as ενώ της ευθείας OS είναι : {\lambda _1} = as.

\tan \theta  = \dfrac{{{\lambda _2} - {\lambda _1}}}{{1 + {\lambda _2}{\lambda _1}}} = \dfrac{{as}}{{1 + 2{a^2}{s^2}}} = g(s)

Η συνάρτηση g:\left( {0, + \infty } \right) \to \mathbb{R}\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\,g(x) = \dfrac{{ax}}{{1 + 2{a^2}{x^2}}} έχει παράγωγο :

g'\left( x \right) = \dfrac{{x\left( {1 - 2{a^2}{x^2}} \right)}}{{{{\left( {1 + 2{a^2}{x^2}} \right)}^2}}} και έτσι η g παρουσιάζει μέγιστο στο {x_0} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{2a}} το

\boxed{g\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}} που είναι και η μέγιστη εφαπτομένη της γωνίας \theta .

Για λόγους εποπτείας η τεταγμένη της καμπύλης {C_g} ( γαλάζια) είναι 20 φορές πιο μεγάλη.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9579
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 40

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 03, 2020 10:52 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιουν 03, 2020 9:00 am
Ώρα εφαπτομένης 40.pngΣημείο S κινείται στον δεξιό κλάδο της παραβολής f(x)=ax^2 , a>0 . Η εφαπτομένη της καμπύλης

στο S , τέμνει τον ημιάξονα Ox στο σημείο T . Βρείτε την μέγιστη τιμή της : \tan\widehat{OST} .
Ώρα εφαπτομένης.40.png
Ώρα εφαπτομένης.40.png (14.3 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές
Η εφαπτομένη έχει εξίσωση \displaystyle y - a{t^2} = 2at(x - t) \Leftrightarrow y = 2atx - a{t^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{y = o} T\left( {\frac{t}{2},0} \right)

\displaystyle \tan \theta  = \tan (\omega  - \varphi ) = \frac{{2at - at}}{{1 + 2at \cdot at}} = \frac{{at}}{{1 + 2{a^2}{t^2}}} \le \frac{{at}}{{2at\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}

Άρα, \boxed{{(\tan \theta )_{\max }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}} για \boxed{t = \frac{1}{{a\sqrt 2 }}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες