ερώτηση για Σ-Λ (εντός ή εκτός ύλης;)

miltosk · #1

Καλησπέρα (ίσως και κακώς που το βάζω σε αυτό το φάκελο διότι όπως ρωτάω και παρακάτω αυτό πιθανόν να μην εντός ύλης).
Μέσα στην χρονιά ήρθα αντιμέτωπος με την εξής πρόταση:
Κάθε πολυώνυμο άρτιου βαθμού παρουσιάζει τοπικό ακρότατο.
Αυτό δεν θεωρείται εκτός σχολικής ύλης;
Αν δεν κάνω λάθος:
Το πολυώνυμο άρτιου βαθμού έχει παράγωγο πολυώνυμο περιττού βαθμού. Το γεγονός ότι η παράγωγος του έχει ρίζα είναι απλή υπόθεση. Δεν χρειάζομαι όμως μιγαδικούς για να πω ότι υπάρχει πραγματική ρίζα περιττής πολλαπλότητας έτσι ώστε η παράγωγος να αλλάζει εκατέρωθεν αυτής πρόσημο, διότι ακόμη και αν βρήκα ρίζα αν αυτή είναι άρτιας πολλαπλότητας η παράγωγος εκατέρωθεν αυτής δεν αλλάζει πρόσημο οπότε και δεν λαμβάνω ακρότατο;
**Σημείωση: Δεν εννοώ το σταθερό πολυώνυμο ακλά κάθε άλλο πολυώνυμο άρτιου βαθμού.**
Ευχαριστώ εκ των προτέρων

Μάρκος Βασίλης · #2

Έστω

πολυώνυμο περιττού βαθμού τέτοιο ώστε κάθε ρίζα του να είναι άρτιας πολλαπλότητας. Τότε το

παραγοντοποιείται ως εξής:

$\displaystyle{p(x)=(x-x_1)^{a_1}(x-x_2)^{a_2}\ldots(x-x_k)^{a_k}q(x),}$

όπου, x_i

(όλες) οι ρίζες του

,

άρτιοι και q(x)

πολυώνυμο που δεν έχει ρίζες στο $\mathbb{R}$ . Ισχύει ότι:

$\displaystyle{{\rm deg}\ p=a_1+\ldots+a_k+{\rm deg}\ q}$

οπότε $\deg q$ περιττός, άρα το

έχει ρίζα, άτοπο.

Μία εναλλακτική απόδειξη που αποφεύγει τις πολλαπλότητες θα μπορούσε να είναι να υποθέσεις ότι το

διατηρεί πρόσημο εκατέρωθεν όλων των ριζών του, άρα διατηρεί πρόσημο εν γένει σε όλο το $\mathbb{R}$ , άρα $p(\mathbb{R})\neq\mathbb{R}$ , άτοπο.

Αλλά, νομίζω ότι δεν είναι τόσο πολύ στο πνεύμα του σχολικού βιβλίου τέτοιες αποδείξεις.

Τσιαλας Νικολαος · #3

Νομίζω δεν χρειάζεται μιγαδικούς. Αν ήταν όλες οι ρίζες άρτιας πολ/τας θα ήταν άρτιου βαθμού...

stranger · #4

Κάθε πολυώνυμο άρτιου βαθμού παρουσιάζει ολικό ελάχιστο αν ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής είναι θετικός και ολικό μέγιστο αν ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής είναι αρνητικός.
Αυτό γιατί $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}P(x) = \pm \infty$ .
Η απόδειξη χρησιμοποιεί ότι αφού το πολυώνυμο είναι συνεχές παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή σε ένα κλειστό διάστημα.

miltosk · #5

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 09, 2020 2:12 pm
Νομίζω δεν χρειάζεται μιγαδικούς. Αν ήταν όλες οι ρίζες άρτιας πολ/τας θα ήταν άρτιου βαθμού...

Δεν εννοώ ακριβώς αυτό. Εννοώ πως μπορεί ο μαθητής της Γ να ξέρει ότι οι πραγματικές ρίζες, τουλάχιστον μία εξ αυτών, είναι περιττής πολλαπλότητας και όχι ας πούμε κάποια μιγαδική να είναι περιττής πολλαπλότητας(γνωρίζω ότι αυτό δεν γίνεται αλλά δεν είναι εντός ύλης);

Τσιαλας Νικολαος · #6

miltosk έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 09, 2020 3:30 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 09, 2020 2:12 pm
Νομίζω δεν χρειάζεται μιγαδικούς. Αν ήταν όλες οι ρίζες άρτιας πολ/τας θα ήταν άρτιου βαθμού...
Δεν εννοώ ακριβώς αυτό. Εννοώ πως μπορεί ο μαθητής της Γ να ξέρει ότι οι πραγματικές ρίζες, τουλάχιστον μία εξ αυτών, είναι περιττής πολλαπλότητας και όχι ας πούμε κάποια μιγαδική να είναι περιττής πολλαπλότητας(γνωρίζω ότι αυτό δεν γίνεται αλλά δεν είναι εντός ύλης);

Γενικά νομίζω το θέμα αυτό θα ήταν άτοπο να πέσει σε πανελλήνιες από πολλές απόψεις.. Αλλά αυτό είναι καθαρά προσωπική μου άποψη!

miltosk · #7

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 09, 2020 3:39 pm

miltosk έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 09, 2020 3:30 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 09, 2020 2:12 pm
Νομίζω δεν χρειάζεται μιγαδικούς. Αν ήταν όλες οι ρίζες άρτιας πολ/τας θα ήταν άρτιου βαθμού...
Δεν εννοώ ακριβώς αυτό. Εννοώ πως μπορεί ο μαθητής της Γ να ξέρει ότι οι πραγματικές ρίζες, τουλάχιστον μία εξ αυτών, είναι περιττής πολλαπλότητας και όχι ας πούμε κάποια μιγαδική να είναι περιττής πολλαπλότητας(γνωρίζω ότι αυτό δεν γίνεται αλλά δεν είναι εντός ύλης);
Γενικά νομίζω το θέμα αυτό θα ήταν άτοπο να πέσει σε πανελλήνιες από πολλές απόψεις.. Αλλά αυτό είναι καθαρά προσωπική μου άποψη!

Οκ, όπως και να χει ευχαριστώ για το ενδιαφέρον. Προσωπικά ούτε εγώ πιστεύω ότι θα μπορούσε να μπει κάτι τέτοιο (κατά τη γνώμη μου υπάρχουν πολύ πιο προσιτά και διδακτικά θέματα) αλλά ως μαθητής Γ λυκείου καλύτερα να ρωτάω τους πιο έμπειρους.

Τσιαλας Νικολαος · #8

Αν είσαι μαθητής και έχεις μπει σε τέτοιο βάθος σκέψης και γνώσεων δεν θα πρέπει να σε αγχώνει τίποτα! Καλή σου επιτυχία λοιπόν αν και τολμώ να διακρίνω ότι αυτή θα έρθει σίγουρα!

#9

miltosk έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 09, 2020 1:28 pm
Καλησπέρα.......................
Μέσα στην χρονιά ήρθα αντιμέτωπος με την εξής πρόταση:
Κάθε πολυώνυμο άρτιου βαθμού παρουσιάζει τοπικό ακρότατο.
Αυτό δεν θεωρείται εκτός σχολικής ύλης;
........................................
Ευχαριστώ εκ των προτέρων

Καλησπέρα !

Α. Θεωρία προφανώς δεν είναι !

Β.Ως άσκηση δεν έχει απολύτως τίποτα το καλό για σχολικό ερώτημα, αν και διαισθητικά ο μαθητής θα βρει την απάντηση από τα όρια στα άκρα και τη συνέχεια . Από εκεί και κάτω, αν η άσκηση δεν είναι καθοδηγούμενη, δεν έχει ενδιαφέρον για σχολικό επίπεδο.
Αλλά και καθοδηγούμενη, προσωπικά δεν την έβαζα ποτέ ως θέμα.

Υπάρχουν δεκάδες άλλα ωραία θέματα για αξιολόγηση που αυτό μπροστά τους δείχνει ως φάντασμα.

Ελπίζω η εκάστοτε ΚΕΕ αυτά να τα ξέρει και να κάνει καλές επιλογές.

Καλή επιτυχία και καλή δύναμη !

( *** Πάντως την άσκηση την έχουμε αποδείξει γενικά και εδώ στο mathematica, όχι μόνο για πολυώνυμο.)

ερώτηση για Σ-Λ (εντός ή εκτός ύλης;)

ερώτηση για Σ-Λ (εντός ή εκτός ύλης;)

Re: ερώτηση για Σ-Λ (εντός ή εκτός ύλης;)

Re: ερώτηση για Σ-Λ (εντός ή εκτός ύλης;)

Re: ερώτηση για Σ-Λ (εντός ή εκτός ύλης;)

Re: ερώτηση για Σ-Λ (εντός ή εκτός ύλης;)

Re: ερώτηση για Σ-Λ (εντός ή εκτός ύλης;)

Re: ερώτηση για Σ-Λ (εντός ή εκτός ύλης;)

Re: ερώτηση για Σ-Λ (εντός ή εκτός ύλης;)

Re: ερώτηση για Σ-Λ (εντός ή εκτός ύλης;)

Μέλη σε σύνδεση