Με απλά υλικά (23)

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (23)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Αύγ 13, 2020 11:53 am

Αν \displaystyle 0<a<1 και \displaystyle x>0 , πόσες λύσεις έχει η εξίσωση \displaystyle (x+a)\ln x-2x+2=0 ;


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 284
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Με απλά υλικά (23)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Πέμ Αύγ 13, 2020 2:36 pm

Ξαναγράφουμε την εξίσωση ως εξής:

\displaystyle{\displaystyle \ln x-\frac{2x-2}{x+a}=0}

και θεωρούμε τη συνάρτηση f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} με:

\displaystyle{f(x)=\ln x-\dfrac{2x-2}{x+a}=0.}

Αρχικά, παρατηρούμε ότι f(1)=0 για κάθε 0<a<1. Επίσης, παρατηρούμε ότι:

\displaystyle{\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty}

και,

\displaystyle{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}

για κάθε 0<a<1. Τώρα, παρατηρούμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη με:

\displaystyle{\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{2(x+a)-(2x-2)}{(x+a)^2}=\frac{1}{x}-\frac{2a+2}{(x+a)^2}=\frac{x^2-2x+a^2}{(x+a)^2}.}

Οι ρίζες και το πρόσημο τη f' συμπίπτουν με αυτά της p(x)=x^2-2x+a^2, επομένως συμπεραίνουμε ότι:

1. η f' έχει το πολύ δύο ρίζες, άρα (Rolle και άτοπο) η f έχει το πολύ τρεις ρίζες και,
2. για 0<a<1 η f' έχει ακριβώς δύο ρίζες. Πράγματι, έχουμε \Delta=4-4a^2=4(1-a^2)>0 επομένως οι εν λόγω ρίζες είναι οι:

\displaystyle{x_1=1-\sqrt{1-a^2},\ x_2=1+\sqrt{1-a^2}.}

Να παρατηρήσουμε τέλος ότι ισχύει 0<x_1<1<x_2, και η f' είναι αρνητική στο (x_1,x_2). Έτσι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [x_1.x_2], άρα f(x_1)>f(1)=0 και f(x_2)<f(1)=0 άρα από το θεώρημα του Bolzano βρίσκουμε δύο ρίζες της f, \rho_1\in(0,x_1) και \rho_2\in(x_2,+\infty), επομένως η f έχει ακριβώς τρεις ρίζες, τις \rho_1,1,\rho_2 με 0<\rho_1<1<\rho_2


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Με απλά υλικά (23)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Αύγ 13, 2020 7:54 pm

Πολύ ωραία
Ευχαριστώ το Βασίλη για την ωραία λύση.
Άλλες δύο λύσεις προκύπτουν θεωρώντας τις : \displaystyle t(x) = (x + a)\ln x - 2x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,h(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\frac{{2x - 2}}{{\ln x}} - x - a,\,\,\,0 < x \ne 1}\\ 
{1 - a\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1} 
\end{array}} \right.
αλλά η παραπάνω είναι πιο στρωτή .


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης