Με απλά υλικά (23)

#1

Αν $\displaystyle 0<a<1$ και $\displaystyle x>0$ , πόσες λύσεις έχει η εξίσωση $\displaystyle (x+a)\ln x-2x+2=0$ ;

Μάρκος Βασίλης · #2

Ξαναγράφουμε την εξίσωση ως εξής:

$\displaystyle{\displaystyle \ln x-\frac{2x-2}{x+a}=0}$

και θεωρούμε τη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ με:

$\displaystyle{f(x)=\ln x-\dfrac{2x-2}{x+a}=0.}$

Αρχικά, παρατηρούμε ότι f(1)=0

για κάθε

. Επίσης, παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty}$

και,

$\displaystyle{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$

για κάθε 0<a<1

. Τώρα, παρατηρούμε ότι η

είναι παραγωγίσιμη με:

$\displaystyle{\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{2(x+a)-(2x-2)}{(x+a)^2}=\frac{1}{x}-\frac{2a+2}{(x+a)^2}=\frac{x^2-2x+a^2}{(x+a)^2}.}$

Οι ρίζες και το πρόσημο τη

συμπίπτουν με αυτά της p(x)=x^2-2x+a^2

, επομένως συμπεραίνουμε ότι:

1. η

έχει το πολύ δύο ρίζες, άρα (Rolle και άτοπο) η

έχει το πολύ τρεις ρίζες και,
2. για 0<a<1

η

έχει ακριβώς δύο ρίζες. Πράγματι, έχουμε $\Delta=4-4a^2=4(1-a^2)>0$ επομένως οι εν λόγω ρίζες είναι οι:

$\displaystyle{x_1=1-\sqrt{1-a^2},\ x_2=1+\sqrt{1-a^2}.}$

Να παρατηρήσουμε τέλος ότι ισχύει 0<x_1<1<x_2

, και η

είναι αρνητική στο (x_1,x_2)

. Έτσι η

είναι γνησίως φθίνουσα στο [x_1.x_2]

, άρα

και

άρα από το θεώρημα του Bolzano βρίσκουμε δύο ρίζες της

, $\rho_1\in(0,x_1)$ και $\rho_2\in(x_2,+\infty)$ , επομένως η

έχει ακριβώς τρεις ρίζες, τις $\rho_1,1,\rho_2$ με $0<\rho_1<1<\rho_2$

#3

Πολύ ωραία
Ευχαριστώ το Βασίλη για την ωραία λύση.
Άλλες δύο λύσεις προκύπτουν θεωρώντας τις : $\displaystyle t(x) = (x + a)\ln x - 2x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,h(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{2x - 2}}{{\ln x}} - x - a,\,\,\,0 < x \ne 1}\\ {1 - a\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1} \end{array}} \right.$
αλλά η παραπάνω είναι πιο στρωτή .

Με απλά υλικά (23)

Με απλά υλικά (23)

Re: Με απλά υλικά (23)

Re: Με απλά υλικά (23)

Μέλη σε σύνδεση