Μέγιστο εμβαδόν

#1

Αν $\displaystyle A={{90}^{0}},AC=a,AB=b,\,\,\,a<b ,\,\,\,$ $\displaystyle D$ εσωτερικό της $\displaystyle AB$ και $\displaystyle DE\bot BC,EF\bot AC$ , να βρείτε το $\displaystyle x$ το οποίο μεγιστοποιεί το $\displaystyle (AFED)$

#2

exdx έγραψε: Παρ Αύγ 21, 2020 9:41 am Αν $\displaystyle A={{90}^{0}},AC=a,AB=b,\,\,\,a<b ,\,\,\,$ $\displaystyle D$ εσωτερικό της $\displaystyle AB$ και $\displaystyle DE\bot BC,EF\bot AC$ , να βρείτε το $\displaystyle x$ το οποίο μεγιστοποιεί το $\displaystyle (AFED)$

$x = \dfrac{{a{b^2}}}{{{a^2} + 2{b^2}}}$

Δεν μου αρέσει όμως η λύση γιατί είναι με αναλυτική γεωμετρία και παραγώγους . Τότε DF//BC

. Θα ψάξω αργότερα για γεωμετρική λύση.

edit: Άρση απόκρυψης

#3

exdx έγραψε: Παρ Αύγ 21, 2020 9:41 am Αν $\displaystyle A={{90}^{0}},AC=a,AB=b,\,\,\,a<b ,\,\,\,$ $\displaystyle D$ εσωτερικό της $\displaystyle AB$ και $\displaystyle DE\bot BC,EF\bot AC$ , να βρείτε το $\displaystyle x$ το οποίο μεγιστοποιεί το $\displaystyle (AFED)$

$\displaystyle (AFED) = \frac{x}{2}(EF + b - y)$

: Μέγιστο.ΓΚ.png (6.73 KiB) Προβλήθηκε 844 φορές

$\displaystyle \frac{{EF}}{b} = \frac{{a - x}}{a} \Leftrightarrow EF = \frac{{b(a - x)}}{a}.$ Αλλά, $\displaystyle BE\sqrt {{a^2} + {b^2}} = yb \Leftrightarrow BE = \frac{{by}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow$

$\boxed{CE = \frac{{{a^2} + {b^2} - by}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}$ (1)

Όμως, $\displaystyle C{E^2} = E{F^2} + F{C^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{CE = \frac{{(a - x)\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a}}$ (2)

Από

και

προκύπτει $\displaystyle y = \frac{{({a^2} + {b^2})x}}{{ab}}$ και με αντικατάσταση $\displaystyle (AFED) = \frac{1}{{2ab}}\left( { - ({a^2} + 2{b^2}){x^2} + 2a{b^2}x} \right),$

που ως (ελλιπές) τριώνυμο παρουσιάζει μέγιστο για $\boxed{x = \frac{{a{b^2}}}{{{a^2} + 2{b^2}}}}$

#4

: Μεγιστο εμβαδόν_geom_1.png (17.28 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές

Μετασχηματίζω το τραπέζιο σε ισοδύναμο τρίγωνο .

Προς τούτο από το

φέρνω παράλληλη στην

που έστω ότι τέμνει την πλευρά

στο

.

Για το εμβαδόν του τραπεζίου AFED

έχω: $\left( {AFED} \right) = \left( {\vartriangle ADT} \right) \leqslant \left( {\vartriangle ADC} \right)$ ,

με το ίσον να ισχύει όταν το

ταυτιστεί με το σταθερό

και τότε : $\boxed{\widehat {{\theta _{}}} = 90^\circ }$ .

: Μεγιστο εμβαδόν_geom_2.png (20.37 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές

Αν τώρα η παράλληλη από το

προς την

τέμνει την πλευρά

σε σημείο

με όμοιο τρόπο καταλήγω στο ίδιο συμπέρασμα δηλαδή,

$\boxed{\widehat {{\theta _{}}} = 90^\circ }$ .

Αφού λοιπόν έχω μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου όταν DF//BC

η θέση του

προκύπτει ως εξής :

: Μεγιστο εμβαδόν_geom_3.png (10.55 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές

Θέτω $AF = x = ka,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD = y = kb\,,\,\,0 < k < 1\,$ , έστω δε

η προβολή του

στην

.

$A{F^2} = D{K^2} = KF \cdot KE = KF\left( {EF - KF} \right) = KF\left( {BD - DA} \right) = y\left( {b - y - y} \right) = y\left( {b - 2y} \right)$

Δηλαδή ${x^2} = y\left( {b - 2y} \right) \Rightarrow {k^2}{a^2} = kb\left( {b - 2kb} \right) \Rightarrow \boxed{k = \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + 2{b^2}}}}$

και άρα: $\boxed{AF = x = ka = \frac{{a{b^2}}}{{{a^2} + 2{b^2}}}}$

Μέγιστο εμβαδόν

Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση