Βιετνάμ 50/ 2020

#1

: NAM.png (21.59 KiB) Προβλήθηκε 502 φορές

Στο σχήμα βλέπετε τη γραφική παράσταση μιας τριτοβάθμιας πολυωνυμικής συνάρτησης , ορισμένης στο $\displaystyle R$ . Ο αριθμός των διακεκριμένων πραγματικών λύσεων της εξίσωσης $\displaystyle f({{x}^{3}}f(x))+1=0$ , είναι : $\displaystyle A.\,\,8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B.\,\,\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,C.\,\,\,\,\,6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,D.\,\,\,4$

Σχόλιο : Όλο το τεστ αποτελείται από πενήντα ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, διαβαθμισμένης δυσκολίας και πρέπει να απαντηθούν σε ενενήντα λεπτά .

Μάρκος Βασίλης · #2

Μία λύση χωρίς παραγώγους.

Η δοσμένη γράφεται:

$\displaystyle{f(x^3f(x))=-1,}$

η οποία ισοδυναμεί με την:

$\displaystyle{x^3f(x)\in\{0,x_1,x_2\},}$

όπου τα $x_1\in(2,3)$ και $x_2\in(5,6)$ είναι οι δύο άλλες τιμές - πέραν του

- για τις οποίες ισχύει f(x)=-1

. Δια κρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις:

1. $x^3f(x)=0\iff x=0\ \text{\gr ή }x=\rho$ , όπου $\rho$ είναι η μοναδική ρίζα της

. Άρα έχουμε δύο ρίζες από εδώ.

2. Η συνάρτηση g(x)=x^3f(x)

είναι γνησίως αύξουσα στο $(\rho,+\infty)$ ως γινόμενο θετικών και γνησίως αυξουσών συναρτήσεων. Επίσης η

είναι συνεχής ως πολυωνυμική και $g((\rho,+\infty))=(0,+\infty)$ αφού $g(\rho)=0$ και $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$ - ως πολυωνυμική άρτιου βαθμού. Άρα η

παίρνει τις τιμές x_2,x_3

ακριβώς μία φορά την καθεμία, άρα έχουμε άλλες δύο λύσεις της αρχικής από εδώ. Επίσης, η

είναι αρνητική στο $(0,\rho)$ (οπότε εκεί δεν έχουμε ρίζες) και γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,0)$ ως γινόμενο αρνητικών και γνησίως φθινουσών συναρτήσεων. Αναλόγως, $g((-\infty,0))=(0,+\infty)$ , επομένως έχουμε άλλες δύο ρίζες εδώ.

Συνολικά, λοιπόν, έξι λύσεις, άρα το

.

Edit: Κατόπιν επισήμανσης παράλειψης από τον κ. Καλαθάκη.

Βιετνάμ 50/ 2020

Βιετνάμ 50/ 2020

Re: Βιετνάμ 50/ 2020

Μέλη σε σύνδεση