Ώρα εφαπτομένης 48

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11923
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 48

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Αύγ 29, 2020 11:48 am

Ώρα εφαπτομένης  48.png
Ώρα εφαπτομένης 48.png (6.67 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές
Οι κάθετες πλευρές OA , OB του ορθογωνίου τριγώνου OAB μεταβάλλονται , έτσι ώστε , αν : OB=a ,(a>1) ,

τότε να είναι : OA=\ell na . Φέρουμε την διάμεσο OM και το ύψος OD . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της \tan\theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7567
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 48

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Αύγ 29, 2020 1:00 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Αύγ 29, 2020 11:48 am
Ώρα εφαπτομένης 48.pngΟι κάθετες πλευρές OA , OB του ορθογωνίου τριγώνου OAB μεταβάλλονται , έτσι ώστε , αν : OB=a ,(a>1) ,

τότε να είναι : OA=\ell na . Φέρουμε την διάμεσο OM και το ύψος OD . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της \tan\theta .
\boxed{{{\left( {\tan \theta } \right)}_{\min }} = \frac{{e - {e^{ - 1}}}}{2}} όταν a = e


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ώρα εφαπτομένης 48

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Αύγ 29, 2020 3:22 pm

Μια προσέγγιση :

Είναι : \displaystyle \tan \left( \frac{\pi }{2}-2w \right)=\cot \left( 2w \right)=\frac{co{{t}^{2}}w-1}{2\cot w}=\frac{\frac{{{a}^{2}}}{{{\ln }^{2}}a}-1}{2\frac{a}{\ln a}}=\frac{{{a}^{2}}-{{\ln }^{2}}a}{2a\ln a}
Έατω : \displaystyle f(a)=\frac{{{a}^{2}}-{{\ln }^{2}}a}{2a\ln a}\,\,,a>1 , οπότε \displaystyle {f}'(a)=\frac{\left( \ln a-1 \right)({{a}^{2}}+{{\ln }^{2}}a)}{2{{a}^{2}}{{\ln }^{2}}a}\,\,,a>1
και \displaystyle {f}'(a)\ge 0\Leftrightarrow a\ge e ,άρα στο \displaystyle a=e\, παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με \displaystyle \,f(e)=\frac{e}{2}-\frac{1}{2e}
Συνημμένα
alna.png
alna.png (12.95 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Ώρα εφαπτομένης 48

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Σάβ Αύγ 29, 2020 5:20 pm

Απο Π.Θ στο ΑΟΒ : \displaystyle AB = \sqrt{a^2+ln^2 a}

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90) ισχύει : \displaystyle \beta \gamma = \alpha \upsilon_{\alpha} άρα στο ΑΟΒ :

\displaystyle OD = \dfrac{OA OB}{AB} \Rightarrow \boxed {OD = \dfrac{a lna}{\sqrt{a^2+ln^2 a}}}

Απο Π.Θ στο ΟDM : \displaystyle DM = \sqrt{OM^2-OD^2} = \sqrt{\dfrac{AB^2}{4}-OD^2}=...=\sqrt{\dfrac{(a^2-ln^2 a)^2}{4(a^2+ln^2 a)}}=\dfrac{|a^2-ln^2 a|}{2\sqrt{a^2+ln^2 a}}

Aλλά για κάθε x>0 ισχύει lnx < x (εφαρμογή σχολικού) άρα \displaystyle \boxed{ DM = \dfrac{a^2-ln^2 a}{2\sqrt{a^2+ln^2 a}}}

Συνεπώς σπ το τρίγωνο ODM : \displaystyle \tan \theta = \dfrac{DM}{OD} = \dfrac{a^2-ln^2 a}{2a lna} .Θέτω  \boxed {f(a)= \dfrac{a^2-ln^2 a}{2a \ln a}},  a>1

\displaystyle {f}'(a)=\frac{\left( \ln a-1 \right)({{a}^{2}}+{{\ln }^{2}}a)}{2{{a}^{2}}{{\ln }^{2}}a}\,\,,a>1 και f'(a) = 0 \Rightarrow \ln a - 1=0 \Rightarrow a = e

Οπότε αν \displaystyle 1<a<e \Rightarrow 0<\ln a<1 \Rightarrow f'(a) < 0 \Rightarrow f φθίνουσα και αν \displaystyle a>e \Rightarrow \ln a >1 \Rightarrow f'(a)>0 \Rightarrow f αύξουσα.

Αρα στο \,  a = e η f παρουσιάζει ελάχιστο με τιμή \displaystyle \boxed{ f(e) = \dfrac{e^2-1}{2e}}


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9828
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 48

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Αύγ 29, 2020 5:28 pm

\displaystyle AB = \sqrt {{a^2} + {{\ln }^2}a}
Ώρα εφαπτομένης.48.png
Ώρα εφαπτομένης.48.png (8.83 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές
\displaystyle  \bullet \displaystyle DM = DB - MB = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\ln }^2}a} }} - \frac{{\sqrt {{a^2} + {{\ln }^2}a} }}{2} = \frac{{{a^2} - {{\ln }^2}a}}{{2\sqrt {{a^2} + {{\ln }^2}a} }}

\displaystyle  \bullet \displaystyle OD = \sqrt {AD \cdot DB}  = \sqrt {\frac{{{{\ln }^2}a}}{{\sqrt {{a^2} + {{\ln }^2}a} }} \cdot \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\ln }^2}a} }}}  = \frac{{a\ln a}}{{\sqrt {{a^2} + {{\ln }^2}a} }}

\displaystyle \tan \theta  = \frac{{DM}}{{OD}} = \frac{{{a^2} - {{\ln }^2}a}}{{2a\ln a}}. Τα υπόλοιπα όπως και οι προηγούμενοι.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7567
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 48

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Αύγ 29, 2020 8:21 pm

Ωρα εφαπτομένης 48.png
Ωρα εφαπτομένης 48.png (14.16 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές
Ας είναι B\left( {a,0} \right)\,\,\,,a > 1 οπότε A\left( {0,\ln a} \right) , M\left( {\dfrac{a}{2},\dfrac{{\ln a}}{2}} \right) και άρα το \overrightarrow {OM} έχει κλίση :

\boxed{{\lambda _1} = \frac{{\ln a}}{a}}. Επειδή \overrightarrow {AB}  = \left( {a, - \ln a} \right) με κλίση ,\dfrac{{ - \ln a}}{a} η κλίση του \overrightarrow {OD} είναι

\boxed{{\lambda _2} = \frac{a}{{\ln a}}} . Επειδή \ln a \leqslant a - 1 < a και \ln a > 0 (αφού a > 1) θα είναι : {\lambda _2} > {\lambda _1}

οπότε για την οξεία γωνία, \theta , των ευθειών OM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OD θα είναι :

\boxed{\tan \theta  = \frac{{{\lambda _2} - {\lambda _1}}}{{1 + {\lambda _2}{\lambda _1}}} = \frac{{{a^2} - {{\ln }^2}a}}{{2a\ln a}} = f(a)} η συνάρτηση αυτή παρουσιάζει ελάχιστη τιμή

για a = e την \boxed{{{\left( {\tan a} \right)}_{\min }} = f(e) = \frac{{e - {e^{ - 1}}}}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης