εφαπτόμενη και ασύμπτωτη

#1

Έστω $\displaystyle f(x)=\frac{2x-{{x}^{2}}-4\ln x}{x}\begin{matrix} , & x\ge 1 \\ \end{matrix}$ .
Βρείτε την εφαπτόμενη της γ.π. της $\displaystyle f$ που είναι παράλληλη στην ασύμπτωτή της .

Tolaso J Kos · #2

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 10, 2020 10:09 pm
Έστω $\displaystyle f(x)=\frac{2x-{{x}^{2}}-4\ln x}{x}\begin{matrix} , & x\ge 1 \\ \end{matrix}$ .
Βρείτε την εφαπτόμενη της γ.π. της $\displaystyle f$ που είναι παράλληλη στην ασύμπτωτή της .

ΟΚ. Η

είναι συνεχής στο $[1, +\infty)$ συνεπώς δε μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Άρα αναζητούμε πλάγια ή οριζόντια. Είναι

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x-x^2-4 \ln x}{x^2} = -1}$
και

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow +\infty} \left ( f(x) + x \right ) &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \frac{2x - x^2 - 4 \ln x}{x} + x \right ) \\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left (\frac{2x-x^2-4 \ln x}{x} + \frac{x^2}{x} \right ) \\ &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x - 4 \ln x}{x} \\ &=2 \end{aligned}}$
Άρα η ευθεία $(\varepsilon): y=2-x$ είναι πλάγια ασύμπτωτη της $\mathcal{C}_f$ στο $+\infty$ . Αναζητούμε αυτή την εφαπτομένη η οποία είναι παράλληλη στην ασύμπτωτη. Έστω $\mathrm{A} \left( x_0, f(x_0)) \in \mathcal{C}_f$ το ζητούμενο σημείο. Απαιτούμε

. Όμως , η

είναι παραγωγίσιμη στο $(1, +\infty)$ με παράγωγο

$\displaystyle{f'(x) = -\frac{x^2 -4 \ln x +4}{x^2}}$
Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} f'(x_0)=-1 &\Leftrightarrow -\frac{x_0^2-4 \ln x_0 +4}{x_0^2} = -1 \\ &\Leftrightarrow -x_0^2 - 4 \ln x_0 + 4 = - x_0^2 \\ &\Leftrightarrow 4 \ln x_0 = 4 \\ &\Leftrightarrow \ln x_0 = 1 \\ &\Leftrightarrow x_0=e \end{aligned}}$
Άρα η ζητούμενη εφαπτομένη είναι η ευθεία

$\displaystyle{\left ( \delta \right ): y - f(e) = f'(e) \left ( x - e \right ) \Leftrightarrow y = \frac{2\left ( e-2 \right )}{e} - x }$

Tolaso J Kos · #3

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 10, 2020 10:09 pm
Έστω $\displaystyle f(x)=\frac{2x-{{x}^{2}}-4\ln x}{x}\begin{matrix} , & x\ge 1 \\ \end{matrix}$ .
Βρείτε την εφαπτόμενη της γ.π. της $\displaystyle f$ που είναι παράλληλη στην ασύμπτωτή της .

Αλλιώς η ασύμπτωτη. Παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{\begin{aligned} f(x) = \frac{2x-x^2-4\ln x}{x} & \Rightarrow f(x) = 2 - x - \frac{4 \ln x}{x} \\ &\Rightarrow f(x) - 2 + x = - \frac{4 \ln x}{x} \\ &\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( f(x) - 2 + x \right ) = \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( - \frac{4 \ln x}{x} \right ) \\ &\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( f(x) - 2 + x \right ) = 0 \end{aligned}}$
και άρα η y=2-x

είναι η ασύμπτωτη της $\mathcal{C}_f$ στο $+\infty$ .

εφαπτόμενη και ασύμπτωτη

εφαπτόμενη και ασύμπτωτη

Re: εφαπτόμενη και ασύμπτωτη

Re: εφαπτόμενη και ασύμπτωτη

Μέλη σε σύνδεση