εφαπτόμενη και ασύμπτωτη

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

εφαπτόμενη και ασύμπτωτη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Οκτ 10, 2020 10:09 pm

Έστω \displaystyle f(x)=\frac{2x-{{x}^{2}}-4\ln x}{x}\begin{matrix} 
   , & x\ge 1  \\ 
\end{matrix} .
Βρείτε την εφαπτόμενη της γ.π. της \displaystyle f που είναι παράλληλη στην ασύμπτωτή της .


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4490
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: εφαπτόμενη και ασύμπτωτη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Οκτ 10, 2020 11:08 pm

exdx έγραψε:
Σάβ Οκτ 10, 2020 10:09 pm
Έστω \displaystyle f(x)=\frac{2x-{{x}^{2}}-4\ln x}{x}\begin{matrix} 
   , & x\ge 1  \\ 
\end{matrix} .
Βρείτε την εφαπτόμενη της γ.π. της \displaystyle f που είναι παράλληλη στην ασύμπτωτή της .

ΟΚ. Η f είναι συνεχής στο [1, +\infty) συνεπώς δε μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Άρα αναζητούμε πλάγια ή οριζόντια. Είναι

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow  +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x-x^2-4 \ln x}{x^2} = -1}
και

\displaystyle{\begin{aligned} 
\lim_{x \rightarrow  +\infty} \left ( f(x) + x  \right ) &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \frac{2x - x^2 - 4 \ln x}{x} + x \right ) \\  
 &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left (\frac{2x-x^2-4 \ln x}{x} + \frac{x^2}{x}  \right ) \\  
 &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x - 4 \ln x}{x} \\  
 &=2 
\end{aligned}}
Άρα η ευθεία (\varepsilon): y=2-x είναι πλάγια ασύμπτωτη της \mathcal{C}_f στο +\infty. Αναζητούμε αυτή την εφαπτομένη η οποία είναι παράλληλη στην ασύμπτωτη. Έστω \mathrm{A} \left( x_0, f(x_0)) \in \mathcal{C}_f το ζητούμενο σημείο. Απαιτούμε f'(x_0)=-1. Όμως , η f είναι παραγωγίσιμη στο (1, +\infty) με παράγωγο

\displaystyle{f'(x) = -\frac{x^2 -4 \ln x +4}{x^2}}
Τότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
f'(x_0)=-1 &\Leftrightarrow -\frac{x_0^2-4 \ln x_0 +4}{x_0^2} = -1 \\  
 &\Leftrightarrow -x_0^2 - 4 \ln x_0 + 4 = - x_0^2 \\  
 &\Leftrightarrow 4 \ln x_0 = 4 \\  
 &\Leftrightarrow \ln x_0 = 1 \\ 
 &\Leftrightarrow x_0=e  
\end{aligned}}
Άρα η ζητούμενη εφαπτομένη είναι η ευθεία

\displaystyle{\left ( \delta \right ): y - f(e) = f'(e) \left ( x - e \right ) \Leftrightarrow y = \frac{2\left ( e-2 \right )}{e} - x }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4490
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: εφαπτόμενη και ασύμπτωτη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Οκτ 11, 2020 12:43 pm

exdx έγραψε:
Σάβ Οκτ 10, 2020 10:09 pm
Έστω \displaystyle f(x)=\frac{2x-{{x}^{2}}-4\ln x}{x}\begin{matrix} 
   , & x\ge 1  \\ 
\end{matrix} .
Βρείτε την εφαπτόμενη της γ.π. της \displaystyle f που είναι παράλληλη στην ασύμπτωτή της .

Αλλιώς η ασύμπτωτη. Παρατηρούμε ότι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
f(x) = \frac{2x-x^2-4\ln x}{x} & \Rightarrow f(x) = 2 - x - \frac{4 \ln x}{x} \\  
 &\Rightarrow f(x) - 2 + x = - \frac{4 \ln x}{x} \\ 
 &\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( f(x) - 2 + x \right ) = \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( - \frac{4 \ln x}{x} \right ) \\ 
 &\Rightarrow  \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( f(x) - 2 + x \right ) = 0  
\end{aligned}}
και άρα η y=2-x είναι η ασύμπτωτη της \mathcal{C}_f στο +\infty.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: elitel και 2 επισκέπτες