Όριο

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη στο $x_0=\alpha>0$ . Να δειχθεί ( με τον ορισμό ) ότι:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{f(x) \ln x - f(\alpha) \ln \alpha}{x-\alpha} = \frac{f(\alpha)}{\alpha} + f'(\alpha) \ln \alpha}$
Καμία ιδέα γιατί κόλλησα;

#2

προσθαφαιρούμε $f\left ( x \right )\cdot ln\alpha$ ή $f\left ( \alpha \right )\cdot lnx$
και βγάζουμε κοινό παράγοντα

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 05, 2020 8:14 pm
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη στο $x_0=\alpha>0$ . Να δειχθεί ( με τον ορισμό ) ότι:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{f(x) \ln x - f(\alpha) \ln \alpha}{x-\alpha} = \frac{f(\alpha)}{\alpha} + f'(\alpha) \ln \alpha}$
Καμία ιδέα γιατί κόλλησα;

Υπόδειξη

$\displaystyle{ \frac {f(x) \ln x - f(\alpha) \ln \alpha}{x-\alpha} = \frac{f(x) - f(\alpha) }{x-\alpha} \cdot \ln x + f(a) \cdot \frac{\ln x - \ln \alpha}{x-\alpha }$

Tolaso J Kos · #4

Η άσκηση βρίσκεται σε φυλλάδιο με ασκήσεις πριν τους κανόνες παραγώγισης. Αυτό λοιπόν που έχουμε στα χέρια μας είναι τον ορισμό της παραγώγου, δηλ. το όριο

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}}$
Οπότε θα πρέπει με κάποιο τρόπο να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{\ln x - \ln \alpha}{x-\alpha}}$ χωρίς κανόνες παραγώγισης. Κάποια ανισότητα με κριτήριο παρεμβολής; Προφανώς δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί ούτε το όριο $\displaystyle{e = \lim_{h \rightarrow 0} \left ( 1 + h \right )^{1/h}}$ καθώς είναι εκτός ύλης.

#5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 05, 2020 10:46 pm
Η άσκηση βρίσκεται σε φυλλάδιο με ασκήσεις πριν τους κανόνες παραγώγισης. Αυτό λοιπόν που έχουμε στα χέρια μας είναι τον ορισμό της παραγώγου, δηλ. το όριο

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}}$
Οπότε θα πρέπει με κάποιο τρόπο να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{\ln x - \ln \alpha}{x-\alpha}}$ χωρίς κανόνες παραγώγισης. Κάποια ανισότητα με κριτήριο παρεμβολής; Προφανώς δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί ούτε το όριο $\displaystyle{e = \lim_{h \rightarrow 0} \left ( 1 + h \right )^{1/h}}$ καθώς είναι εκτός ύλης.

Αν η άσκηση βρίσκεται πριν από την παράγωγο της $\ln x$ , τότε είναι ολίσθημα του συγγραφέα ή σου ζητά να βρεις εσύ την εν λόγω παράγωγο. Άλλωστε είναι σαφές από την εκφώνηση της άσκησης ότι, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, ένα από τα ζητούμενα είναι η απόδειξη του

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{\ln x - \ln \alpha}{x-\alpha}}= \dfrac {1}{\alpha}$

Πάρε π.χ. για

την σταθερή f(x)=1

στο αποδεικτέο, και θα το διαπιστώσεις ότι, ουσιαστικά, σου το ζητάει. Με άλλα λόγια, ΟΤΙ ΜΑ ΟΤΙ ΚΑΝΕΙΣ, η απόδειξη εμπεριέχει την παράγωγο του λογαρίθμου. Η ίδια η παράγωγος δεν έρχεται με επιφοίτηση, αλλά πρέπει να κάνεις έναν από τους διάφορους τρόπους εύρεσής της. Όλα τα άλλα είναι... σάλτσα.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση