Κλαδική πολυωνυμική

Al.Koutsouridis · #1

Η συνάρτηση f(x)

είναι κυβικό πολυώνυμο με τον μεγιστοβάθμειο συντελεστή ίσο με

και η συνάρτηση g(x)

είναι μια γραμμική συνάρτηση. Έστω h(x)

η συνάρτηση που ορίζεται από την σχέση

$h(x) = \left\{\begin{matrix} \left | f(x)+g(x) \right | \quad (x <1) \\ f(x)-g(x) \quad \quad (x \geq 1) \\ \end{matrix}\right.$

Αν η συνάρτηση h(x)

είναι παραγωγίσιμη για όλους τους πραγματικούς αριθμούς και h(0)=0

,

, να βρείτε την τιμή h(4)

.

Πηγή: Κορέατικες εισαγωγικές εξετάσεις 2021, θέμα 30/30.

#2

θα χρησιμεύσουν τα
1.αν $\displaystyle{q}$ πολυώνυμο , $\displaystyle{q(a)=q'(a)=0 \Rightarrow q(x)=(x-a)^2s(x), s=}$ πολυωνυμο
2.αν $\displaystyle{q}$ συνεχής, $\displaystyle{q(a)\ne 0}$ τότε η $\displaystyle{|x-a|q(x)}$ δεν είναι παραγωγίσιμη
3.αν $\displaystyle{q,|q|}$ παραγωγισιμες και $\displaystyle{q(a)=0}$ τοτε $\displaystyle{q'(a)=0}$

$\displaystyle{f(x)=x^3+ax^2+bx+c , g(x)=kx+l}$

$\displaystyle{h(0)=|c+l|=0}$ αρα $\displaystyle{c=-l}$

$\displaystyle{h=}$ συνεχής τότε $\displaystyle{|f(1)+g(1)|=f(1)-g(1)}$ υψονωντας στο 2 $\displaystyle{f(1)g(1)=0}$ αρα $\displaystyle{(1+a+b+c)(k+l)=0}$

$\displaystyle{|f+g|,f+g}$ παραγωγίσιμες, $\displaystyle{(f+g)(0)=0}$ αρα $\displaystyle{(f+g)(x)=x^2p(x)}$ οποτε
$\displaystyle{x3+ax^2+(b+k)x+c+l)=x^2q(x)}$ που σημαίνει $\displaystyle{b=-k,c+l=0}$

Toτε $\displaystyle{|(f+g)(x)|=|x^3+ax^2|=x^2|x+a|=}$ παραγωγίσιμη Αρα $\displaystyle{(-a)^2=0}$ η $\displaystyle{a=0}$

An $\displaystyle{g(1)=0}$ τοτε $\displaystyle{\lim_{x\to 1}\frac{x^2|x+a|-f(1)}{x-1}=f'(1)-g'(1)=3+2a+b-k}$

$\displaystyle{1+a>0}$ αφου $\displaystyle{f(1)>g(1)}$

τελικα $\displaystyle{2+b-k=0}$

Λυνοντας το συστημα βρίσκουμε τα $\displaystyle{a=0,b=3,c=1}$ , $\displaystyle{f(4)=77}$

Aν $\displaystyle{f(1)=0}$ τοτε $\displaystyle{\lim_{x\to 1}\frac{x^2|x+a|-g(1)}{x-1}=f'(1)-g'(1)=3+2a+b-k}$

τοτε $\displaystyle{\lim_{x\to 1}\frac{x^3-k-l}{x-1}=f'(1)-g'(1)=3+2a+b-k}$ η
$\displaystyle{ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-(1)}{x-1}=f'(1)-g'(1)=3+2a+b-k}$
$\displaystyle{2+b-k=0}$ ...

Κλαδική πολυωνυμική

Κλαδική πολυωνυμική

Re: Κλαδική πολυωνυμική

Μέλη σε σύνδεση