Το ξ του Θ.Μ.Τ.

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12344
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το ξ του Θ.Μ.Τ.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 07, 2021 8:45 am

Το  ξ  του  Θ.Μ.Τ.png
Το ξ του Θ.Μ.Τ.png (11.53 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές
Ας πούμε ότι : 0<a<b . Είναι γνωστό ότι για την συνάρτηση : f(x)=mx^2+kx+\ell , m\ne 0 ,

το \xi του Θ.Μ.Τ , στο διάστημα [a,b] , είναι το \dfrac{a+b}{2} .

α) Δείξτε ότι για την συνάρτηση : g(x)=\sqrt{x} , για το προκύπτον \xi , ισχύει : a<\xi<\dfrac{a+b}{2}.

β) Κάντε ανάλογες σκέψεις - διαπιστώσεις , για τις : t(x)=\ell nx ,\:\:\: h(x)=e^x .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13174
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Το ξ του Θ.Μ.Τ.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 07, 2021 12:08 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 07, 2021 8:45 am
Ας πούμε ότι : 0<a<b . Είναι γνωστό ότι για την συνάρτηση : f(x)=mx^2+kx+\ell , m\ne 0 ,

το \xi του Θ.Μ.Τ , στο διάστημα [a,b] , είναι το \dfrac{a+b}{2} .

α) Δείξτε ότι για την συνάρτηση : g(x)=\sqrt{x} , για το προκύπτον \xi , ισχύει : a<\xi<\dfrac{a+b}{2}.

β) Κάντε ανάλογες σκέψεις - διαπιστώσεις , για τις : t(x)=\ell nx ,\:\:\: h(x)=e^x .
α) Το ΘΜΤ για την \sqrt x δίνει \sqrt b - \sqrt a= \dfrac {1}{2 \sqrt \xi} (b-a) = \dfrac {1}{2\sqrt \xi} (\sqrt b-\sqrt a) (\sqrt b + \sqrt a). Άρα

\sqrt {\xi}  =  \dfrac {\sqrt a + \sqrt b}{2} , οπότε \xi = \dfrac {a+b+2\sqrt {ab} } {4} < \dfrac {a+b+ (a+b) } {4} = \dfrac {a+b } {2} , όπως θέλαμε.

β) Παρόμοια δουλειά για την e^x δίνει βέβαια e^{\xi } (b-a) = e^b-e^a , και θα δείξουμε ότι το δεξί μέλος είναι \ge e^{(a+b)/2} (b-a) .

Πράγματι η f(x)= e^x-e^{-x} -2x για x\ge 0 έχει f'(x) = e^x+ e^{-x} -2 και f''(x) = e^x - e^{-x} \ge 0. Άρα f' αύξουσα για x\ge 0, οπότε

f'(x) \ge f'(0)=0, και άρα f (γνήσια) αύξουσα, συνεπώς f(x) \ge f(0)=0. Ειδικά για x=(b-a)/2 δίνει e^{(b-a)/2}- e^{-(b-a)/2} \ge b-a, που με πολλαπλασιασμό επί e^{{a+b}/2} δ'ίνει την ζητούμενη.

Τελικά \xi  > \dfrac {a+b} {2}

Θα επανέλθω για το τρίτο μέρος (πρέπει να κλείσω) όπου η διαδικασία είναι παρόμοια μ.εσω της \ln x > \dfrac {2(x-1)}{x+1} για x>1.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13174
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Το ξ του Θ.Μ.Τ.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 07, 2021 12:58 pm

Για τον λογάριθμο έχουμε  \dfrac {1}{\xi} (b-a) = \ln b - \ln a το οποίο θα δείξουμε ότι για b>a είναι > \dfrac {2(b-a)}{b+a}\,(*).

Θεωρούμε την f(x) = \ln x -\dfrac {2(x-1)}{x+1} = \ln x -2 +\dfrac {4}{x+1} για x\ge 1. Έχει f'(x) = \dfrac {1}{x} - \dfrac {4}{(x+1)^2}=  \dfrac {(x-1)^2}{x(x+1)^2}\ge και μάλιστα γνήσια για x>1. Άρα για x>1 έχουμε f(x) > f(1)=0.

Ειδικά για x=b/a δίνει το αποδεικτέο (*). Τελικά \dfrac {1}{\xi} >  \dfrac {2}{b+a}, και άρα \xi  <  \dfrac {a+b}{2}.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3324
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Το ξ του Θ.Μ.Τ.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιαν 07, 2021 1:15 pm

Γενικά αν οι f'' και f''' διατηρούν πρόσημο μπορούμε να δούμε σε πιο
από τα
[a,\frac{a+b}{2}],[\frac{a+b}{2},b]
βρίσκεται το \xi

Από τον Taylor έχουμε

\displaystyle f(b)=f(\xi )+f'(\xi )(b-\xi )+f''(\xi _1)\frac{(b-\xi )^{2}}{2}

\displaystyle f(a)=f(\xi )+f'(\xi )(a-\xi )+f''(\xi _2)\frac{(a-\xi )^{2}}{2}

Ετσι

\displaystyle  f''(\xi _2)\frac{(a-\xi )^{2}}{2}=f''(\xi _1)\frac{(b-\xi )^{2}}{2}

με a< \xi _{2}< \xi <\xi _1<b

κλπ


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2279
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Το ξ του Θ.Μ.Τ.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Ιαν 08, 2021 11:16 am

παρατήρηση

Το \displaystyle{\xi (x)} σε κυρτές - κοίλες συναρτησεις είναι συναρτηση του \displaystyle{x} και μάλιστα ΣΥΝΕΧΗΣ
Η απόδειξη βρίσκεται Στον <<ΕΚΘΕΤΗ>> του Νίκου στην εργασία Γεωμετρικες συνθήκες κυρτότητας στο τέλος σχέσεις 66-72


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3324
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Το ξ του Θ.Μ.Τ.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιαν 08, 2021 11:21 am

R BORIS έγραψε:
Παρ Ιαν 08, 2021 11:16 am
παρατήρηση

Το \displaystyle{\xi (x)} σε κυρτές - κοίλες συναρτησεις είναι συναρτηση του \displaystyle{x} και μάλιστα ΣΥΝΕΧΗΣ
Η απόδειξη βρίσκεται Στον <<ΕΚΘΕΤΗ>> του Νίκου στην εργασία Γεωμετρικες συνθήκες κυρτότητας στο τέλος σχέσεις 66-72
Αυτό είναι
http://www.nsmavrogiannis.gr/Ekthetis/Ekthetis003.pdf


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12344
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Το ξ του Θ.Μ.Τ.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 08, 2021 1:39 pm

Για την περίπτωση της t(x)=lnx : Υπάρχει \xi\in\left(a,b\right) , τέτοιο ώστε : \xi=\dfrac{b-a}{lnb-lna} .

Θα δείξουμε ότι : \xi < \dfrac{a+b}{2}\Leftrightarrow \dfrac{b-a}{lnb-lna}< \dfrac{a+b}{2} :\:\: ή    :\:\:(a+b)ln\dfrac{b}{a}-2(b-a)>0 .

Αλλά η : f(b)=(a+b)ln\dfrac{b}{a}-2(b-a) , έχει παράγωγο : f'(b)=\dfrac{a}{b}+ln\dfrac{b}{a}-1 , η οποία ,

όπως είδαμε εδώ , είναι μη αρνητική , με αποτέλεσμα η f να είναι γνησίως αύξουσα , δηλαδή :

f(b)>f(a)=0 , ο . ε. δ. Κι έτσι βρήκαμε λύση χωρίς χρήση της συνάρτησης της εκφώνησης .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13174
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Το ξ του Θ.Μ.Τ.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 08, 2021 8:56 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 08, 2021 1:39 pm
Κι έτσι βρήκαμε λύση χωρίς χρήση της συνάρτησης της εκφώνησης .
Μα αυτή
KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 08, 2021 1:39 pm

f(b)=(a+b)ln\dfrac{b}{a}-2(b-a)
ουσιστικά είναι η συνάρτηση της εκφώνησης: Είτε διαιρώντας με a και θέτοντας b/a=x ή λαμβάνοντας b=x,\,a=1 γίνεται (x+1)\ln x-2(x-1) έναντι της \ln x - \dfrac {2(x-1)}{x+1}. Δεν έχουν ουσιώδη διαφορά. Άλλωστε και μία και η άλλη είναι ισοδύναμη μορφή του αποδεικτέου  \xi < \dfrac {a+b}{2} στο \dfrac {1}{\xi} = \dfrac {\ln b - \ln a }{b-a} που δίνει το ΘΜΤ.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12344
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Το ξ του Θ.Μ.Τ.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 08, 2021 9:25 pm

Οι συναρτήσεις , πράγματι δεν έχουν καμία διαφορά . Εκείνο που λέω , είναι ότι το ερώτημα β) λύνεται

χωρίς κατ' ανάγκη να έχουμε ασχοληθεί με το πρώτο ( ή χωρίς καν να υπάρχει το πρώτο ! )


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες