Κοινές εφαπτόμενες

KARKAR · #1

: Κοινές εφαπτόμενες.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 937 φορές

Πόσες κοινές εφαπτόμενες έχουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=\dfrac{1}{4}(x^2+6x+12)$ και $g(x)=2\sqrt{x}$ ; Βρείτε την εξίσωση εκείνης ,

για την οποία τα σημεία επαφής βρίσκονται σε διαφορετικά τεταρτημόρια .

Παρακαλείσθε για αναλυτική παρουσίαση της λύσης , η άσκηση είναι "διδακτικό πρότυπο" .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιαν 14, 2021 7:22 pm Κοινές εφαπτόμενες.pngΠόσες κοινές εφαπτόμενες έχουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=\dfrac{1}{4}(x^2+6x+12)$ και $g(x)=2\sqrt{x}$ ; Βρείτε την εξίσωση εκείνης ,

για την οποία τα σημεία επαφής βρίσκονται σε διαφορετικά τεταρτημόρια .

Παρακαλείσθε για αναλυτική παρουσίαση της λύσης , η άσκηση είναι "διδακτικό πρότυπο" .

Για κάθε $A\left( {a,g(a)} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,a > 0\,\,,\,\,g(a) > 0$ η εφαπτομένη ευθεία έχει εξίσωση : $\boxed{y = \frac{1}{{\sqrt a }}x + \frac{a}{{\sqrt a }}\,\,}\,\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Για κάθε B(b,f(b))

η εξίσωση της εφαπτομένης της ${C_f}$ είναι : $y = f\left( b \right) + f'\left( b \right)\left( {x - b} \right)$

Επειδή $f'\left( x \right) = \dfrac{{x + 3}}{2}$ η προηγούμενη σχέση δίδει:

$\boxed{y = \frac{{b + 3}}{2}x + \frac{{12 - {b^2}}}{4}}\,\,\left( 2 \right)$

: κοινές εφαπρομένες.png (17.22 KiB) Προβλήθηκε 904 φορές

Για να ταυτιστούν οι δύο ευθείες αρκεί να βρούμε $a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b$ ώστε:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{b + 3}}{2} = \frac{1}{{\sqrt a }} \hfill \\ \frac{{12 - {b^2}}}{4} = \frac{a}{{\sqrt a }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Πολλαπλασιάζω κατά μέλη και διώχνω το

και προκύπτει :

$\left( {b + 2} \right)\left( {{b^2} + b - 14} \right) = 0$ .

Η τιμή b = - 2

μας κάνει και δίδει κοινή εφαπτομένη με εξίσωση $\displaystyle \boxed{y = \frac{1}{2}x + 2}$

Η αρνητική ρίζα του τριωνύμου: ${b^2} + b - 14$ απορρίπτεται γιατί δεν εφάπτεται της ${C_g}$ αλλά της $y = - 2\sqrt x$ .

KARKAR · #3

: Κοινές εφαπτόμενες.png (25.14 KiB) Προβλήθηκε 830 φορές

Να προσθέσουμε , απλά , ότι υπάρχει και η ροζ κοινή εφαπτομένη , η οποία προκύπτει από την τρίτη

λύση της εξίσωσης , αλλά τα σημεία επαφής βρίσκονται και τα δύο στο πρώτο τεταρτημόριο ...

Κοινές εφαπτόμενες

Κοινές εφαπτόμενες

Re: Κοινές εφαπτόμενες

Re: Κοινές εφαπτόμενες

Μέλη σε σύνδεση