Ώρα εφαπτομένης 87

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 87.png (15.45 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

Το

είναι σταθερό σημείο του ημιάξονα Oy , (OA =a)

, ενώ το

κινείται στον

. Σχεδιάζω

το τετράγωνο ABCD

. Ονομάζω

την προβολή του

στον

και

την τομή των OC , AC'

.

Υπολογίστε την μέγιστη τιμή της : $\tan\widehat{CSC'}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 27, 2021 12:16 pm
Ώρα εφαπτομένης 87.pngΤο είναι σταθερό σημείο του ημιάξονα , ενώ το κινείται στον . Σχεδιάζω

το τετράγωνο . Ονομάζω την προβολή του στον και την τομή των .

Υπολογίστε την μέγιστη τιμή της : $\tan\widehat{CSC'}$ .

Έστω

Εύκολα προκύπτει η ισότητα των τριγώνων OAB, C'BC

άρα

: Ώρα εφαπτομένης.87.png (14.74 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές

$\displaystyle \tan \theta = \tan (\omega + \varphi ) = \frac{{\frac{b}{{a + b}} + \frac{a}{{a + b}}}}{{1 - \frac{{ab}}{{{{(a + b)}^2}}}}} = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}$

Θέτω $\displaystyle \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} = y \ne 1, y\ne 0 \Leftrightarrow (y - 1){a^2} + (y - 2)ba + (y - 1){b^2} = 0$

Για να έχει η παραπάνω εξίσωση ως προς

πραγματική λύση πρέπει $\displaystyle \Delta \ge 0 \Leftrightarrow by(4 - 3y) \ge 0 \Leftrightarrow y \le \frac{4}{3}$

Άρα, $\boxed{ {(\tan \theta )_{\max }} = \frac{4}{3}}$ όταν $\boxed{b=a}$

#3

: Ώρα εφαπτομένης 87.png (18.44 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές

Τα τρίγωνα $OAB\,,\,\,BC'C$ είναι πάντα ίσα .

$\theta = \omega + \phi \,\,\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{\tan \theta = \frac{{\tan \omega + \tan \phi }}{{1 - \tan \omega \cdot \tan \phi }}}\,\,\left( 2 \right)$ .

Αλλά ο αριθμητής του προηγουμένου κλάσματος είναι σταθερός και ίσος με

.

άρα το κλάσμα γίνεται μέγιστο αν ο παρανομαστής γίνει ελάχιστος ή ισοδύναμα το

γινόμενο $\tan \omega \cdot \tan \phi$ γίνει μέγιστο , άρα αναγκαστικά οι όροι του γίνουν ίσοι .

Μα τότε το OA = OB

και $\boxed{\tan \theta = \frac{4}{3}}$ .

#4

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 27, 2021 1:55 pm
Ώρα εφαπτομένης 87.png

Τα τρίγωνα $OAB\,,\,\,BC'C$ είναι πάντα ίσα .

$\theta = \omega + \phi \,\,\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{\tan \theta = \frac{{\tan \omega + \tan \phi }}{{1 - \tan \omega \cdot \tan \phi }}}\,\,\left( 2 \right)$ .

Αλλά ο αριθμητής του προηγουμένου κλάσματος είναι σταθερός και ίσος με .

άρα το κλάσμα γίνεται μέγιστο αν ο παρανομαστής γίνει ελάχιστος ή ισοδύναμα το

γινόμενο $\tan \omega \cdot \tan \phi$ γίνει μέγιστο , άρα αναγκαστικά οι όροι του γίνουν ίσοι .

Μα τότε το και $\boxed{\tan \theta = \frac{4}{3}}$ .

Έξυπνο

Ώρα εφαπτομένης 87

Ώρα εφαπτομένης 87

Re: Ώρα εφαπτομένης 87

Re: Ώρα εφαπτομένης 87

Re: Ώρα εφαπτομένης 87

Μέλη σε σύνδεση