Είναι σωστή η λύση;

Tolaso J Kos · #1

Άσκηση: Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με συνεχή παράγωγο τέτοια ώστε

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x) - \sqrt{x^2+4}}{x} = 1}$

Να δειχθεί ότι η

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο x_0=0

.

Λύση: Έστω $\displaystyle g(x) = \frac{f'(x) - \sqrt{x^2+4}}{x}$ . Τότε $\lim \limits_{x \rightarrow 0} g(x) =1$ . Συνεπώς,

$\displaystyle{ \begin{aligned} g (x) = \frac{f'(x) - \sqrt{x^2+4}}{x} &\Rightarrow x g(x) = f'(x) - \sqrt{x^2+4} \\ &\Rightarrow f'(x) = x g(x) + \sqrt{x^2+4} \\ &\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0} f'(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \left ( x g(x) + \sqrt{x^2+4} \right ) \\ &\Rightarrow f'(0) = 2 \end{aligned}}$
Αρκεί να δείξουμε ότι το όριο $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x) - f'(0)}{x}$ υπάρχει. Πράγματι,

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x) - \sqrt{x^2+4}}{x} =1 &\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x) - f'(0) - \left ( \sqrt{x^2+4} - f'(0) \right )}{x} =1 \\ &\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x) - f'(0) - \left ( \sqrt{x^2+4} -2 \right )}{x} =1 \end{aligned}}$
Επειδή $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x} = 0$ έπεται ότι και το όριο $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x) - f'(0)}{x}$ υπάρχει.

#2

Γειά σου Αποστόλη
Σωστή αλλά ελλιπής , Στο τελευταίο βήμα χρησιμοποιείται πρόταση που δεν αναφέρεται στο σχολικό και θέλει απόδειξη .

#3

Σωστό είναι αλλά πλατειάζει. Μπορεί να αποτρέψει τον μαθητή γιατί κάνει τα εύκολα, δύσκολα. Τα ίδια πιο άμεσα:

$\displaystyle{f'(0)-2 = \lim_{x \rightarrow 0} ( f'(x) - \sqrt {x^2+4})= \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac { f'(x) - \sqrt {x^2+4}}{x} \cdot x = 1\cdot 0 =0}$ , δηλαδή f'(0)=2

. Άρα

$\displaystyle{\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{f'(x) - f'(0)}{x-0} = \lim_{x \rightarrow 0} \left (\dfrac{f'(x) - \sqrt {x^2+4}}{x-0} + \dfrac {\sqrt {x^2+4}-2}{x-0}\right )=1+0=1}}$

Είναι σωστή η λύση;

Είναι σωστή η λύση;

Re: Είναι σωστή η λύση;

Re: Είναι σωστή η λύση;

Μέλη σε σύνδεση