Ανισότητα

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι για κάθε $\alpha, \beta>0$ ισχύει

$\displaystyle{\ln \left ( \frac{\alpha + \beta}{2} \right ) < \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \ln \alpha + \frac{\beta}{\alpha + \beta} \ln \beta}$

#2

$\displaystyle{lnx}$ κοιλη από Jensen

$\displaystyle{\frac{a}{a+b}lna+\frac{b}{a+b}lnb\ge ln(\frac{a^2+b^2}{a+b})\ge ln(\frac{a+b}{2})}$ αφού $\displaystyle{lnx }$ αύξουσα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 12, 2021 8:02 am
Να δειχθεί ότι για κάθε $\alpha, \beta>0$ ισχύει

$\displaystyle{\ln \left ( \frac{\alpha + \beta}{2} \right ) < \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \ln \alpha + \frac{\beta}{\alpha + \beta} \ln \beta}$

Ετσι όπως είναι δεν ισχύει.
Βάλε
$\alpha =\beta$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 12, 2021 8:02 am
Να δειχθεί ότι για κάθε $\alpha, \beta>0$ ισχύει

$\displaystyle{\ln \left ( \frac{\alpha + \beta}{2} \right ) < \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \ln \alpha + \frac{\beta}{\alpha + \beta} \ln \beta}$

Προφανώς πρέπει να είναι

Να δειχθεί ότι για κάθε $\alpha, \beta>0$ ισχύει

$\displaystyle{\ln \left ( \frac{\alpha + \beta}{2} \right ) \leq \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \ln \alpha + \frac{\beta}{\alpha + \beta} \ln \beta}$ Θέτουμε $\displaystyle k=\frac{\alpha }{\alpha +\beta },0<k<1$

Βρίσκοντας το $\alpha$ σαν συνάρτηση των $k,\beta$
και αντικαθιστώντας αρκεί να δείξουμε ότι

$\displaystyle \ln \frac{1}{2}\leq k\ln k+(1-k)\ln (1-k)$

Η τελευταία προκύπτει άμεσα γιατί το ελάχιστο της

$\displaystyle f(x)= x\ln x+(1-x)\ln (1-x),0<x<1$

είναι στο $x=\frac{1}{2}$

Christos.N · #5

Αν πάλι θεωρήσουμε την f(x)=xlnx,~x>0

τότε η παραγωγός της f'(x)=lnx+1,x>0

είναι γνησίως αύξουσα.

Έστω a< b

τότε εφαρμόζοντας το θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα $[a,\frac{a+b}{2}],~[\frac{a+b}{2},b]$ έχουμε:

$\frac{\frac{a+b}{2}\ln\frac{a+b}{2} -a \ln a}{\frac{b-a}{2}}<\frac{b \ln b-\frac{a+b}{2}\ln\frac{a+b}{2} }{\frac{b-a}{2}}\Rightarrow \ln \left ( \frac{a + b}{2} \right ) < \frac{a}{a + b} \ln a + \frac{b}{a + b} \ln b$

Με το ίσον να ισχύει όταν a=b

.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση