Σύγκριση αριθμών

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4684
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σύγκριση αριθμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μαρ 20, 2021 4:56 pm

Να συγκριθούν οι αριθμοί \displaystyle{\left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)^{\alpha+\beta}} , \alpha^\alpha\beta^\beta όπου \alpha, \beta>0.


Δεν έχω απάντηση.


Υ.Σ: Το πρώτο ερώτημα είναι να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η f(x) = x \ln x. Στα εργαλεία δεν είναι ακόμα η κυρτότητα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 609
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Σύγκριση αριθμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Μαρ 20, 2021 5:36 pm

Αποστολή καλησπέρα! Η jensen μιλάει για κυρτότητα αλλά ουσιαστικά χρειάζεται ότι η πρώτη παράγωγος είναι αύξουσα ή φθίνουσα...


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1474
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Σύγκριση αριθμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Μαρ 20, 2021 7:27 pm

Επειδή αναφερόμαστε σε θετικές ποσότητες και ο λογάριθμος είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο \left(0,+\infty\right) αρκεί να συγκρίνουμε τους

λογαρίθμους των αριθμών αυτών. Έχουμε \displaystyle{\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{a+b}=(a+b)\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)}

και απ΄ την άλλη \,\,\ln(a^a\,b^b)=\ln\,a^a+\ln\,b^b=a\,\ln\,a+b\,\ln\,b

Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x)=x\,\ln\,x\,,x>0 έχουμε f^{\prime}(x)=\ln\,x+1\,,x>0, οπότε η f^{\prime} είναι γνησίως αύξουσα στο

\left(0,+\infty\right). Δύο φορές εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την f στα διαστήματα \left[a,\dfrac{a+b}{2}\right]\,\,,\left[\dfrac{a+b}{2},b\right]

οπότε υπάρχουν \xi_1\in\left(a,\dfrac{a+b}{2}\right)\,,\xi_2\in\left(\dfrac{a+b}{2},b\right) τέτοια ώστε

\begin{aligned}f^{\prime}(\xi_1)&=\dfrac{1}{(a+b)/2-a}\left(f\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)-f(a)\right)\\&=\dfrac{2}{b-a}\left(\dfrac{a+b}{2}\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)-a\,\ln\,a\right)\\&=\dfrac{1}{b-a}\left((a+b)\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)-2\,a\,\ln\,a\right\right) \end{aligned}

όπως επίσης

\begin{aligned} f^{\prime}(\xi_2)&=\dfrac{1}{b-(a+b)/2}\left(f(b)-f\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\right)\\&=\dfrac{2}{b-a}\left(b\,\ln\,b-\dfrac{a+b}{2}\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\right)\\&=\dfrac{1}{b-a}\left(2\,b\,\ln\,b-(a+b)\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\right)\end{aligned}

Έχουμε τώρα διαδοχικά

\begin{aligned}\xi_1<\xi_2&\implies f^{\prime}(\xi_1)<f^{\prime}(\xi_2)\\&\implies \dfrac{1}{b-a}\left((a+b)\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)-2\,a\,\ln\,a\right)< \dfrac{1}{b-a}\left(2\,b\,\ln\,b-(a+b)\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\right)\\&\implies (a+b)\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)-2\,a\,\ln\,a<2\,b\,\ln\,b-(a+b)\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\\&\implies 2\,(a+b)\,\ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)<2\,a\,\ln\,a+2\,b\,\ln\,b\\&\implies \ln\,\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{a+b}<\ln\,(a^a\,b^b)\\&\implies \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{a+b}<a^a\,b^b \end{aligned}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 609
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Σύγκριση αριθμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Μαρ 20, 2021 7:49 pm

Αυτό ακριβώς εννοούσα...ουσιαστικά γίνεται η απόδειξη της Jensen...οπότε αντί να πουμε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή λέμε ότι η παράγωγος είναι αύξουσα :)


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4684
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σύγκριση αριθμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μαρ 20, 2021 8:21 pm

Οπότε η άσκηση πάει περίπατο ... αφού δεν έχω ούτε το Θ.Μ.Τ στη διάθεσή μου.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2988
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Σύγκριση αριθμών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Σάβ Μαρ 20, 2021 10:10 pm

Πιο απλά (νομίζω) ... αν λογαριθμήσουμε και θέσουμε g(b)=alna+blnb-(a+b)ln\left(\dfrac{a+b}{2}\right) για b\geq a ... τότε g'(b)=lnb-ln\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\geq 0, άρα g(b)\geq g(a)=0.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης