Ελάχιστο για ελαχίστους

KARKAR · #1

: Ελάχιστο για ελαχίστους.png (10.17 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές

Πάνω στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας

, κινείται σημείο

. Η εφαπτομένη του τόξου

στο

, τέμνει τις προεκτάσεις των OA , OB

στα σημεία T , P

αντίστοιχα και έστω

το μέσο του τμήματος

. Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος

.

#2

Μια λύση εκτός φακέλου:

Υποθέτουμε ότι το τεταρτοκύκλιο ανήκει στον κύκλο $\displaystyle{x^2+y^2=16}$ (στο 1ο τεταρτημόριο).

Ας είναι $\displaystyle{S(4\sin a, 4\cos a), ~a\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}$ , οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η $\displaystyle{x\sin a+y\cos a=4}$ . Τότε φανερά είναι $\displaystyle{P\left(0,\frac{4}{\sin a}\right)}$ και $\displaystyle{T\left(\frac{4}{\cos a},0\right)}$ . Άρα είναι $\displaystyle{M\left(\frac{2}{\cos a},0\right)}$ .

Ισχύει

$\displaystyle{PM^2=\frac{16}{\sin ^2a}+\frac{4}{\cos ^2a}\geq \frac{6^2}{1}=36,}$ οπότε $\displaystyle{PM\geq 6}$ και η ισότητα ισχύει όταν

$\displaystyle{\frac{\sin ^2a}{4}=\frac{\cos ^2 a}{2}=\frac{1}{6}}$ , δηλαδή όταν $\displaystyle{\sin a=\frac{2}{3}, }$ δηλαδή $\displaystyle{a=\arcsin \frac{2}{3}.}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 07, 2021 12:24 pm
Ελάχιστο για ελαχίστους.png Πάνω στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας , κινείται σημείο . Η εφαπτομένη του τόξου

στο , τέμνει τις προεκτάσεις των στα σημεία αντίστοιχα και έστω

το μέσο του τμήματος . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος .

Αν $\angle TOS = \theta$ , τότε $OM= \frac {1}{2} OT=\frac {1}{2} \dfrac {OS}{\cos \theta} = \dfrac {2}{\cos \theta}$ και $OP = \dfrac {OS}{\sin OPS}= \dfrac {4}{\sin \theta}$ . Από Πυθαγόρειο $PM^2= \dfrac {4}{\cos ^2 \theta} + \dfrac {16}{\sin ^2 \theta}$ .

Mε παραγώγιση έχουμε ακρότατο όταν $\displaystyle{ \dfrac {8 \sin \theta }{\cos ^3 \theta} - \dfrac {32 \cos \theta }{\sin ^3 \theta} =0}$ , από όπου $\sin \theta = \sqrt 2 \cos \theta$ ή αλλιώς $\tan \theta = \sqrt 2$ .

Τα υπόλοιπα, όπως η τιμή του

, είναι άμεσα από τις $\cos ^2\theta = \dfrac {1}{\tan ^2 \theta +1 },\, \sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$

Edit: Τώρα βέλπω την λύση του Θάνου. Το αφήνω παρά τις ομοιότητες σε διάφορα σημεία.

abgd · #4

Με τη βοήθεια μετρικών σχέσεων στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε:

Αν $PS=x,\ \ TS=y$ τότε: $OS^2=xy\Rightarrow y=\frac{16}{x}$

Ακόμη: $OP^2=x\left(x+\frac{16}{x}\right)=x^2+16$ και $OT^2=\frac{16}{x}\left(x+\frac{16}{x}\right)=\frac{256}{x^2}+16\right)$

Έτσι $PM^2=OP^2+\frac{OT^2}{4}=20+x^2+\frac{64}{x^2}\geq20+2x\frac{8}{x}=36$ οπότε $PM\geq6$ και το ίσον ισχύει όταν $x=\frac{8}{x}\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}$

Διαφορετικά, για τις ανάγκες του φακέλου, θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=\sqrt{20+x^2+\frac{64}{x^2}}, x>0$ ,

η οποία εκφράζει το μήκος του

, και με τη βοήθεια της παραγώγου βρίσκουμε ότι έχει ελάχιστο για $x=2\sqrt{2}$ με τιμή

.

Ελάχιστο για ελαχίστους

Ελάχιστο για ελαχίστους

Re: Ελάχιστο για ελαχίστους

Re: Ελάχιστο για ελαχίστους

Re: Ελάχιστο για ελαχίστους

Μέλη σε σύνδεση