Κυρτότητα και ανισότητες

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με f(x) >0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Αν για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύουν

$\displaystyle{f''(x) > \frac{\left ( f'(x) \right )^2}{f(x)} \quad \text{\gr και} \quad \left ( e^{2x+1} + e \right ) f (x+1) = \left ( e^{2x+2} + 1 \right ) f(x)}$
τότε:

(α) να δειχθεί ότι η $g(x) = \ln f(x)$ είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$ .

(β) $\displaystyle{\frac{f(x)}{f(x-1)} < \exp \left ( \frac{f'(x)}{f(x)} \right ) < \frac{f(x+1)}{f(x)}}$ για κάθε x>1

(γ) να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)}}$ .

#2

$\displaystyle{g''(x)=\frac{f''(x)f(x)-(f'(x))^2}{{f^2(x)}}>0}$ λογω της δεδομένης ανίσωσης και $\displaystyle{f(x)>0}$
Αρα $\displaystyle{g}$ κυρτή

Θέλουμε $\displaystyle{e^{lnf(x)}'<f(x+1}/f(x)}$ η $\displaystyle{{lnf(x)}'<lnf(x+1)-lnf(x)}$ η $\displaystyle{g'(x)<g(x+1)-g(x)}$ η απο ΘΜΤ
$\displaystyle{g'(x)<g'(u) , x<u}$ που ισχυει αφου $\displaystyle{g}$ κυρτή
ομοιως και το αριστερα μέλος της ανίσωσης

$\displaystyle{\frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{e^{2x+2}+1}{e^{2x+1}+e}-> e}$ οταν $\displaystyle{x ->+\infty}$
ομοιως και το αριστερα μέλος
Aρα το ζητουμενο οριο είναι το $\displaystyle{e}$

Κυρτότητα και ανισότητες

Κυρτότητα και ανισότητες

Re: Κυρτότητα και ανισότητες

Μέλη σε σύνδεση