Το ελάχιστο της διαμέσου

#1

Δίνεται τεταρτοκύκλιο $\displaystyle \overset\frown{BC}$ , κέντρου $\displaystyle A$ και ακτίνας $\displaystyle 1$ . Η εφαπτόμενη στο τυχαίο σημείο $\displaystyle D$ τέμνει τις $\displaystyle AB,AC$ στα $\displaystyle Z,E$ , αντίστοιχα .
Αν $\displaystyle H$ είναι το μέσον της $\displaystyle AE$ , να βρείτε το ελάχιστο μήκος της $\displaystyle ZH$

#2

exdx έγραψε: Πέμ Σεπ 23, 2021 1:58 pm Δίνεται τεταρτοκύκλιο $\displaystyle \overset\frown{BC}$ , κέντρου $\displaystyle A$ και ακτίνας $\displaystyle 1$ . Η εφαπτόμενη στο τυχαίο σημείο $\displaystyle D$ τέμνει τις $\displaystyle AB,AC$ στα $\displaystyle Z,E$ , αντίστοιχα .
Αν $\displaystyle H$ είναι το μέσον της $\displaystyle AE$ , να βρείτε το ελάχιστο μήκος της $\displaystyle ZH$

Καλησπέρα Γιώργη!

Θέτω BZ=x, EC=y,

οπότε $\displaystyle Z{H^2} = {(x + 1)^2} + {\left( {\frac{{y + 1}}{2}} \right)^2}.$

: Το ελάχιστο της διαμέσου.ΓΚ.png (9.8 KiB) Προβλήθηκε 1078 φορές

Αλλά, $\displaystyle DE \cdot DZ = 1$ και $\displaystyle \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{{(y + 1)}^2}}} = \frac{{DZ}}{{DE}} = D{Z^2} = {x^2} + 2x \Leftrightarrow {(y + 1)^2} = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{x^2} + 2x}}$

Άρα, $\displaystyle Z{H^2} = f(x) = {(x + 1)^2} + \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{4({x^2} + 2x)}}, x>0$

Είναι $\displaystyle f'(x) = \frac{{(x + 1)(4{x^4} + 16{x^3} + 16{x^2} - 1)}}{{2{x^2}{{(x + 2)}^2}}} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \ne - 1} 4{x^2}{(x + 2)^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle (2{x^2} + 4x - 1)(2{x^2} + 4x + 1) = 0,$ απ' όπου παίρνουμε την μοναδική θετική ρίζα $\boxed{{x_0} = \sqrt {\frac{3}{2}} - 1}$

για την οποία η

παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με $\dfrac{9}{4},$ άρα $\boxed{Z{H_{\min }} = \frac{3}{2}}$

STOPJOHN · #3

exdx έγραψε: Πέμ Σεπ 23, 2021 1:58 pm Δίνεται τεταρτοκύκλιο $\displaystyle \overset\frown{BC}$ , κέντρου $\displaystyle A$ και ακτίνας $\displaystyle 1$ . Η εφαπτόμενη στο τυχαίο σημείο $\displaystyle D$ τέμνει τις $\displaystyle AB,AC$ στα $\displaystyle Z,E$ , αντίστοιχα .
Αν $\displaystyle H$ είναι το μέσον της $\displaystyle AE$ , να βρείτε το ελάχιστο μήκος της $\displaystyle ZH$

Μια προσπάθεια με Ευκλείδεια Γεωμετρία

Απο το θεώρημα των διαμέσων και το Π.Θ στο τρίγωνο $AEZ,AZ^{2}+EZ^{2}=2EZ^{2}+\dfrac{EA^{2}} {2},(1), AZ^{2}+EA^{2}=EZ^{2},(2), (1),(2)\Rightarrow ZH^{2}=AZ^{2}+\dfrac{EA^{2}}{4},(3),$

Από τις μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο $EAZ,EA^{2}=ED.EZ,AZ^{2}=DZ.EZ,AD^{2}=ED.DZ\Rightarrow EZ=AE.AZ,(4), (2),(4)\Rightarrow AZ^{2}+EA^{2}=EA^{2}.AZ^{2}\Leftrightarrow AZ^{2}= \dfrac{AE^{2}} {AE^{2}-1},(5), (3),(5)\Rightarrow ZH^{2}=\dfrac{EA^{2}}{EA^{2}-1}+\dfrac{EA^{2}}{4}$

Θέτω $x=EA^{2},y=ZH^{2},4y(x-1)=x^{2}+3x\Leftrightarrow x^{2}+(3-4y)x+4y=0,\Delta \geq 0\Rightarrow 16y^{2}-40y+9\geq 0\Rightarrow y_{min}=\dfrac{9}{4}\Rightarrow min(ZH)=\dfrac{3}{2}$ για

x=3

#4

Γράφοντας

στη λύση του Γιώργου, θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την

$\displaystyle g(t) = t + \frac{t}{4(t-1)} = t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4(t-1)}$

στο $(1,+\infty)$ . Έχουμε $g'(t) = 1 - \frac{1}{4(t-1)^2}$ και $g'(t) = 0 \iff t=\frac{3}{2}$ . Τα υπόλοιπα είναι απλά τώρα.

#5

Και μία λύση εκτός φακέλου(με ύλη μικρότερων τάξεων).

Έστω

το μέσο του

και

: Το ελάχιστο της διαμέσου.ΓΚβ.png (10.63 KiB) Προβλήθηκε 1039 φορές

Είναι $HM=\dfrac{1}{2}$ και $\displaystyle A{D^2} = 2xDZ \Leftrightarrow DZ = \frac{1}{{2x}} \Leftrightarrow ZM = x + \frac{1}{{2x}}.$

Με Π. Θ στο HMZ,

$\displaystyle Z{H^2} = {\left( {x + \frac{1}{{2x}}} \right)^2} + \frac{1}{4} = {\left( {x - \frac{1}{{2x}}} \right)^2} + \frac{9}{4} \ge \frac{9}{4} \Rightarrow$ $\boxed{Z{H_{\min }} = \frac{3}{2}}$

όταν $\displaystyle x = \frac{1}{{2x}} \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Την έχω ξαναλύσει στο με αυτό τον τρόπο.

Το ελάχιστο της διαμέσου

Το ελάχιστο της διαμέσου

Re: Το ελάχιστο της διαμέσου

Re: Το ελάχιστο της διαμέσου

Re: Το ελάχιστο της διαμέσου

Re: Το ελάχιστο της διαμέσου

Μέλη σε σύνδεση