Με απλά υλικά (32)

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1737
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (32)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Δεκ 28, 2021 2:10 pm

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle 4{{x}^{2}}+\ln x-6x+1=0\,\, έχει μια μόνο ρίζα στο \displaystyle (0,+\infty )
β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση \displaystyle (2x-\ln x)[\ln (2x-\ln x)]-2x+1=0 είναι αδύνατη στο \displaystyle (0,+\infty )
γ) Έστω \displaystyle f(x) = \ln (2x - \ln x)\,\,,x \in \,(0, + \infty )
i) Να βρείτε το σύνολο τιμών της \displaystyle f
ii) Nα αποδείξετε ότι έχει μοναδικό σημείο καμπής .
iii) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη της \displaystyle {{C}_{f}} που να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Υ.Γ Το (β) έχει απαντηθεί εδώ


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1835
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
Επικοινωνία:

Re: Με απλά υλικά (32)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Δεκ 31, 2021 4:02 pm

exdx έγραψε:
Τρί Δεκ 28, 2021 2:10 pm
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle 4{{x}^{2}}+\ln x-6x+1=0\,\, έχει μια μόνο ρίζα στο \displaystyle (0,+\infty )
β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση \displaystyle (2x-\ln x)[\ln (2x-\ln x)]-2x+1=0 είναι αδύνατη στο \displaystyle (0,+\infty )
γ) Έστω \displaystyle f(x) = \ln (2x - \ln x)\,\,,x \in \,(0, + \infty )
i) Να βρείτε το σύνολο τιμών της \displaystyle f
ii) Nα αποδείξετε ότι έχει μοναδικό σημείο καμπής .
iii) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη της \displaystyle {{C}_{f}} που να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Υ.Γ Το (β) έχει απαντηθεί εδώ
Πανέμορφη! :)

α) Προκύπτει από τα συμπεράσματα εδώ. Συγκεκριμένα, αν g(x)=4x^2+\ln x-6x+1, η g έχει μία μόνο ρίζα \xi \in [\dfrac{1}{2},+\infty).
β) Είναι το πρόβλημα στον πιο πάνω σύνδεσμο.
γ) i) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0,+\infty) με f'(x)=\dfrac{2x-1}{x(2x-\ln x)}.

Παρατηρούμε ότι 2x-\ln x \geq 2x-(x-1)=x+1>0, οπότε για το πρόσημο της f' και την μονοτονία της f έχουμε ότι

- αν x \in (0,\dfrac{1}{2}], η f'(x) \leq 0 και άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα, και
- αν x \in [\dfrac{1}{2},+\infty), η f'(x) \geq 0 και άρα η f είναι γνησίως αύξουσα.

Οπότε, το σύνολο τιμών της f είναι το f_A=\displaystyle [f(\dfrac{1}{2}),\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)) \cup [f(\dfrac{1}{2}),\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)).

Είναι, \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln (2x-\ln x)=+\infty, καθώς \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} 2x-\ln x=0-(-\infty)=+\infty, οπότε αν u=2x-\ln x, είναι u \rightarrow +\infty, συνεπώς \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \ln (2x-\ln x)=\lim_{u \rightarrow +\infty} \ln u =+\infty.

Επίσης, για μεγάλα x έχουμε ότι \ln (2x- \ln x) \geq \ln(2x-(x-1))=\ln(x+1), και αφού \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(x+1)=+\infty, είναι και \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln (2x- \ln x)=+\infty.

Τέλος, f(\dfrac{1}{2})=\ln(1+\ln 2).

Επομένως, συνοψίζοντας προκύπτει ότι f_A=[\ln(1+\ln2),+\infty).

ii) Είναι, f''(x)=\dfrac{-(4x^2+\ln x-6x+1)}{(x(2x-\ln x))^2}, οπότε από το α) προκύπτει ότι

- αν x \in (0,\xi], είναι f''(x)>0, δηλαδή η f είναι κυρτή, και
- αν x \in [\xi, +\infty), είναι f''(x) \leq 0, δηλαδή η f είναι κοίλη.

Συνεπώς, η C_f παρουσιάζει στο σημείο της A(\xi,f(\xi)) μοναδικό σημείο καμπής.

iii) Έστω ότι υπήρχε τέτοια εφαπτομένη της C_f στο σημείο B(x_0,f(x_0). Τότε, η εξίσωσή της θα ήταν y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0), οπότε αφού αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων, προκύπτει ότι f(x_0)=x_0f'(x_0), το οποίο δίνει ότι (2x_0-\ln x_0)\ln (2x_0-\ln x_0)-2x_0+1=0, το οποίο είναι άτοπο λόγω του ερωτήματος β).


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης