Ελαχιστοποίηση του γαλάζιου

#1

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές με ύψος $\displaystyle BD$ και $\displaystyle AC = BD = 2$
Ποια θέση του $\displaystyle H$ ελαχιστοποιεί το γαλάζιο εμβαδόν ;

#2

Καλησπέρα σε όλους. Ξεκινώ με Αναλυτική Γεωμετρία και εύρεση μεγίστου με τις τεχνικές των παλαιών αλγεβριστών.

: 22-05-2022 Γεωμετρία.png (32.59 KiB) Προβλήθηκε 864 φορές

Έστω

.

Τότε $\displaystyle AH:\;\;y = ax + a$ και $\displaystyle BC:y = - 2x + 2$ , οπότε το

έχει τετμημένη $\displaystyle \frac{{2 - a}}{{a + 2}}$ , όσο και η απόστασή του από τη

.

$\displaystyle {E_{blue}} = \left( {DAH} \right) + \left( {BHZ} \right) = \frac{a}{2} + \frac{{{{\left( {2 - a} \right)}^2}}}{{2\left( {a + 2} \right)}} = \frac{{{a^2} - a + 2}}{{a + 2}}$ , που γράφεται $\displaystyle {E_{blue}} = \left( {a + 2} \right) + \frac{8}{{\left( {a + 2} \right)}} - 5$ .

Επειδή το γινόμενο των $\displaystyle \left( {a + 2} \right),\frac{8}{{a + 2}}$ είναι σταθερό, το άθροισμά τους γίνεται ελάχιστο, όταν είναι ίσοι, αν μπορεί να γίνουν ίσοι.

Είναι $\displaystyle a + 2 = \frac{8}{{a + 2}} \Leftrightarrow a = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)$ .
edit: Διόρθωσα ένα πρόσημο, που μού επισήμανε ο Γιώργης.

abgd · #3

: gmegisto.png (28.12 KiB) Προβλήθηκε 812 φορές

Από το

φέρνουμε την παράλληλο προς την

η οποία τέμνει την

στο

και την

στο

.

Εύκολα δείχνουμε ότι KM=MZ(=y)

και από τις αναλογίες $\displaystyle{ \frac{y}{1}=\frac{BM}{2}}$ , $\displaystyle{ \frac{y}{1}=\frac{HM}{2-x}}$ βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{ y=\frac{x}{4-x}}$

Το εμβαδόν του σχήματος θα είναι: $\displaystyle{E(x)= \frac{1}{2}\cdot x\cdot\frac{x}{4-x}+\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot (2-x) = ... \frac{x^2-3x+4}{4-x}, \ \ x \in (0,2)}$

Με τη βοήθεια της παραγώγου βρίσκουμε ότι το ελάχιστο εμβαδόν E(x)

προκύπτει όταν $\displaystyle{x=4-2\sqrt{2}$ ,

δηλαδή όταν το

απέχει από το

απόσταση ίση με $\displaystyle{4-2\sqrt{2}$

Ελαχιστοποίηση του γαλάζιου

Ελαχιστοποίηση του γαλάζιου

Re: Ελαχιστοποίηση του γαλάζιου

Re: Ελαχιστοποίηση του γαλάζιου

Μέλη σε σύνδεση