Σταθερή συνάρτηση

#1

Έστω $f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε

ισχύει $f''(x) \ge 0 \ge f(x)$ .

Δείξτε ότι η

είναι σταθερή.

(Κατάλληλη για μαθητές).

Ορέστης Λιγνός · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Αύγ 26, 2022 12:00 am Έστω $f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε ισχύει $f''(x) \ge 0 \ge f(x)$ .

Δείξτε ότι η είναι σταθερή.

(Κατάλληλη για μαθητές).

Αφού $f''(x) \geq 0$ , η

είναι κυρτή. Άρα από την ανισότητα Jensen, $f(a_1)+f(a_2)+\ldots+f(a_n) \geq nf(\dfrac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n})$ για κάθε $a_i \in \mathbb{R}$ .

Έστω αυθαίρετα $a,b \in \mathbb{R}$ , και επιλέγουμε a_i=a

για $1 \leq i \leq n-1$ και a_n=bn-a(n-1)

. Τότε, προκύπτει ότι

$(n-1)f(a)+f(bn-a(n-1)) \geq nf(b)$ , και αφού $f(bn-a(n-1)) \leq 0$ , είναι $f(a) \geq \dfrac{n}{n-1} \cdot f(b)$ .

Παίρνοντας $n \rightarrow +\infty$ , προκύπτει ότι $f(a) \geq f(b)$ , για δύο αυθαίρετα a,b

, άρα αντιστρέφοντας τους ρόλους τους, είναι $f(b) \geq f(a) \geq f(b)$ , δηλαδή f(a)=f(b)

για κάθε

, οπότε

σταθερή, όπως θέλαμε.

#3

Πάρα πολύ ωραία λύση.

Αυτό που είχα κατά νου είναι: Από την υπόθεση $f''(x) \ge 0$ έχουμε ότι η

είναι αύξουσα. Αν f'(x) =0

για κάθε

, τελειώσαμε.

Αν υπάρχει

με

(όμοια αν

), τότε για κάθε x>a

έχουμε $f'(x) \ge f'(a)>0$ . Άρα από Θ.Μ.Τ. έχουμε για x>a

ότι

$f(x) -f(a) = f'(\xi)(x-a) \ge f'(a)(x-a)$

Αλλά το τελευταίο δείχνει ότι το δεξί μέλος, και άρα το αριστερό, τείνει στο $+\infty$ καθώς το

τείνει στο $+\infty$ , που αντιβαίνει στην υπόθεση ότι $f(x)\le 0$ για κάθε

.

stranger · #4

Ορέστης Λιγνός έγραψε: Παρ Αύγ 26, 2022 12:10 pm Αφού $f''(x) \geq 0$ , η είναι κυρτή. Άρα από την ανισότητα Jensen, $f(a_1)+f(a_2)+\ldots+f(a_n) \geq nf(\dfrac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n})$ για κάθε $a_i \in \mathbb{R}$ .

Έστω αυθαίρετα $a,b \in \mathbb{R}$ , και επιλέγουμε για $1 \leq i \leq n-1$ και . Τότε, προκύπτει ότι

$(n-1)f(a)+f(bn-a(n-1)) \geq nf(b)$ , και αφού $f(bn-a(n-1)) \leq 0$ , είναι $f(a) \geq \dfrac{n}{n-1} \cdot f(b)$ .

Παίρνοντας $n \rightarrow +\infty$ , προκύπτει ότι $f(a) \geq f(b)$ , για δύο αυθαίρετα , άρα αντιστρέφοντας τους ρόλους τους, είναι $f(b) \geq f(a) \geq f(b)$ , δηλαδή για κάθε , οπότε σταθερή, όπως θέλαμε.

Σωστά, όμως είμαστε σε φάκελο Γ-Λυκείου.
Εσύ το απέδειξες με τον κανονικό ορισμό της κυρτότητας.
Στο λύκειο πρέπει η παράγωγος να είναι γνησίως αύξουσα.

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση