Πολλαπλής από Gaokao
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1742
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Πολλαπλής από Gaokao
Όμορφη! Σωστή επιλογή είναι η C, δηλαδή είναι . Έστω .
Μέρος 1: . Θέλουμε να αποδείξουμε ότι , ισοδύναμα ότι . Έστω η συνάρτηση με . Θέλουμε να αποδείξουμε ότι .
Είναι, . Έστω . Τότε, είναι .
Οπότε, για είναι , άρα η είναι γνησίως αύξουσα, ενώ για είναι , άρα η είναι γνησίως φθίνουσα.
Παρατηρούμε ότι:
,
και
. Άρα υπάρχει όσο κοντά στο θέλουμε με .
Οπότε, λόγω της συνέχειας της , από το Θεώρημα Bolzano συμπεραίνουμε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε , και λόγω της μονοτονίας της στο διάστημα αυτό είναι μοναδικό.
Συνολικά, για το πρόσημο της έχουμε ότι:
για κάθε και
για κάθε .
Αφού λοιπόν είναι και , η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για και γνησίως φθίνουσα για , όπου το είναι τέτοιο, ώστε .
Λόγω της ανισότητας , προκύπτει λοιπόν ότι:
άρα , δηλαδή .
Αφού λοιπόν είναι , λόγω της μονοτονίας της προκύπτει ότι που δίνει το ζητούμενο.
Μέρος 2: Είναι . Θέλουμε να αποδείξουμε ότι , ισοδύναμα ότι , δηλαδή ότι . Θεωρούμε την συνάρτηση με . Είναι,
άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, οπότε αφού , είναι
που δίνει το ζητούμενο.
Οπότε, αφού ολοκληρώσαμε και τα δύο μέρη, έχουμε ότι , όπως θέλαμε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Πολλαπλής από Gaokao
Χρησιμοποιώντας Taylor για τις e^x και lnx μια γραφική επαλήθευση...
- Συνημμένα
-
- sol.png (148.05 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πολλαπλής από Gaokao
Είναι
Γράφεται ισοδύναμα
Αμεση συνέπεια της
Γεια την
θεωρούμε την συνάρτηση που όρισε ο Ορέστης.
Θέλουμε
Είναι
Αλλά για
Ετσι
Επειδή είναι θα είναι
Αρα θα είναι
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πολλαπλής από Gaokao
Για να το δούμε με υπολογισμούς(εκτός φακέλου)
Η
γράφεται
Εχουμε
Επειδή
παίρνουμε
Αρα έχουμε
Αμεσα προκύπτει το ζητούμενο.
Επειδή
είναι
οπότε
Είναι
Αλλά ισχύει ότι
Ετσι έχουμε
που δίνει το ζητούμενο.
_
Η
γράφεται
Εχουμε
Επειδή
παίρνουμε
Αρα έχουμε
Αμεσα προκύπτει το ζητούμενο.
Επειδή
είναι
οπότε
Είναι
Αλλά ισχύει ότι
Ετσι έχουμε
που δίνει το ζητούμενο.
_
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες