Δημιουργία και μελέτη

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15010
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δημιουργία και μελέτη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 09, 2023 1:19 pm

Δημιουργία  και  μελέτη  συνάρτησης.png
Δημιουργία και μελέτη συνάρτησης.png (8.46 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές
\bigstar Σημείο T κινείται στον δεξιό κλάδο της παραβολής : y=\dfrac{x^2}{a}  , ( a > 0 ) και S είναι η προβολή του

στον x'x . Ορίστε συνάρτηση E(x) , η οποία να αποδίδει το (TSA) και μελετήστε την πλήρως .

( Για το σχήμα πάρτε : a=12) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13271
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δημιουργία και μελέτη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 11, 2023 12:42 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 09, 2023 1:19 pm
Δημιουργία και μελέτη συνάρτησης.png\bigstar Σημείο T κινείται στον δεξιό κλάδο της παραβολής : y=\dfrac{x^2}{a}  , ( a > 0 ) και S είναι η προβολή του

στον x'x . Ορίστε συνάρτηση E(x) , η οποία να αποδίδει το (TSA) και μελετήστε την πλήρως .

( Για το σχήμα πάρτε : a=12) .
Με \displaystyle T\left( {x,\frac{{{x^2}}}{a}} \right) είναι \displaystyle (TSA) = \frac{1}{2} \cdot TS \cdot SA = \frac{{{x^2}|a - 2x|}}{{4a}},x \geqslant 0
Δημιουργία συνάρτησης.png
Δημιουργία συνάρτησης.png (10.88 KiB) Προβλήθηκε 568 φορές
Έχουμε λοιπόν τη συνάρτηση \displaystyle E(x) = \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{{x^2}(a - 2x)}}{{4a}},0 \leqslant x < \frac{a}{2} \hfill \\ 
   \hfill \\ 
  \frac{{{x^2}(2x - a)}}{{4a}},x \geqslant \frac{a}{2} \hfill \\ 
 \end{gathered}  \right. με παράγωγο

\displaystyle  \bullet \displaystyle E'(x) = \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{x(a - 3x)}}{{2a}},0 \leqslant x < \frac{a}{2} \hfill \\ 
   \hfill \\ 
  \frac{{x(3x - a)}}{{2a}},x > \frac{a}{2} \hfill \\  
 \end{gathered}  \right. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο \dfrac{a}{2}.

Η E είναι λοιπόν γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα \displaystyle \left[ {0,\frac{a}{3}} \right],\left[ {\frac{a}{2}, + \infty } \right) και γνησίως φθίνουσα

στο \displaystyle \left[ {\frac{a}{3},\frac{a}{2}} \right]. Έχουμε ολικό ελάχιστο \displaystyle E(0) = E\left( {\frac{a}{2}} \right) = 0 και τοπικό μέγιστο \displaystyle E\left( {\frac{a}{3}} \right) = \frac{{{a^2}}}{{108}}.

\displaystyle  \bullet \displaystyle E''(x) = \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{(a - 6x)}}{{2a}},0 \leqslant x < \frac{a}{2} \hfill \\ 
   \hfill \\ 
  \frac{{(6x - a)}}{{2a}},x > \frac{a}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. Η E είναι κυρτή σε καθένα από τα διαστήματα \displaystyle \left[ {0,\frac{a}{6}} \right],\left[ {\frac{a}{2}, + \infty } \right)

και κοίλη στο \displaystyle \left[ {\frac{a}{6},\frac{a}{2}} \right]. Το σημείο \displaystyle A\left( {\frac{a}{6},\frac{{{a^2}}}{{216}}} \right) είναι σημείο καμπής. Το \dfrac{a}{2} δεν είναι θέση σημείου καμπής γιατί η

συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό (δεν δέχεται εφαπτομένη).

\displaystyle  \bullet Και οι δύο κλάδοι της συνάρτησης είναι πολυώνυμα, οπότε δεν έχουμε ασύμπτωτες. Όλα αυτά τα συμπεράσματα

συνοψίζονται στην παρακάτω γραφική παράσταση της συνάρτησης.
Μελέτη συνάρτησης.png
Μελέτη συνάρτησης.png (9.03 KiB) Προβλήθηκε 568 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Christos59 και 1 επισκέπτης