Δημιουργία και μελέτη

KARKAR · #1

: Δημιουργία και μελέτη συνάρτησης.png (8.46 KiB) Προβλήθηκε 704 φορές

$\bigstar$ Σημείο

κινείται στον δεξιό κλάδο της παραβολής : $y=\dfrac{x^2}{a} , ( a > 0 )$ και

είναι η προβολή του

στον x'x

. Ορίστε συνάρτηση E(x)

, η οποία να αποδίδει το (TSA)

και μελετήστε την πλήρως .

( Για το σχήμα πάρτε : a=12)

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 09, 2023 1:19 pm
Δημιουργία και μελέτη συνάρτησης.png $\bigstar$ Σημείο κινείται στον δεξιό κλάδο της παραβολής : $y=\dfrac{x^2}{a} , ( a > 0 )$ και είναι η προβολή του

στον . Ορίστε συνάρτηση , η οποία να αποδίδει το και μελετήστε την πλήρως .

( Για το σχήμα πάρτε : .

Με $\displaystyle T\left( {x,\frac{{{x^2}}}{a}} \right)$ είναι $\displaystyle (TSA) = \frac{1}{2} \cdot TS \cdot SA = \frac{{{x^2}|a - 2x|}}{{4a}},x \geqslant 0$

: Δημιουργία συνάρτησης.png (10.88 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

Έχουμε λοιπόν τη συνάρτηση $\displaystyle E(x) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2}(a - 2x)}}{{4a}},0 \leqslant x < \frac{a}{2} \hfill \\ \hfill \\ \frac{{{x^2}(2x - a)}}{{4a}},x \geqslant \frac{a}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ με παράγωγο

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle E'(x) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{x(a - 3x)}}{{2a}},0 \leqslant x < \frac{a}{2} \hfill \\ \hfill \\ \frac{{x(3x - a)}}{{2a}},x > \frac{a}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο $\dfrac{a}{2}.$

Η

είναι λοιπόν γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle \left[ {0,\frac{a}{3}} \right],\left[ {\frac{a}{2}, + \infty } \right)$ και γνησίως φθίνουσα

στο $\displaystyle \left[ {\frac{a}{3},\frac{a}{2}} \right].$ Έχουμε ολικό ελάχιστο $\displaystyle E(0) = E\left( {\frac{a}{2}} \right) = 0$ και τοπικό μέγιστο $\displaystyle E\left( {\frac{a}{3}} \right) = \frac{{{a^2}}}{{108}}.$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle E''(x) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{(a - 6x)}}{{2a}},0 \leqslant x < \frac{a}{2} \hfill \\ \hfill \\ \frac{{(6x - a)}}{{2a}},x > \frac{a}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Η

είναι κυρτή σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle \left[ {0,\frac{a}{6}} \right],\left[ {\frac{a}{2}, + \infty } \right)$

και κοίλη στο $\displaystyle \left[ {\frac{a}{6},\frac{a}{2}} \right].$ Το σημείο $\displaystyle A\left( {\frac{a}{6},\frac{{{a^2}}}{{216}}} \right)$ είναι σημείο καμπής. Το $\dfrac{a}{2}$ δεν είναι θέση σημείου καμπής γιατί η

συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό (δεν δέχεται εφαπτομένη).

$\displaystyle \bullet$ Και οι δύο κλάδοι της συνάρτησης είναι πολυώνυμα, οπότε δεν έχουμε ασύμπτωτες. Όλα αυτά τα συμπεράσματα

συνοψίζονται στην παρακάτω γραφική παράσταση της συνάρτησης.

: Μελέτη συνάρτησης.png (9.03 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

Δημιουργία και μελέτη

Δημιουργία και μελέτη

Re: Δημιουργία και μελέτη

Μέλη σε σύνδεση