Από τράπεζα θεμάτων 35245

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1737
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Από τράπεζα θεμάτων 35245

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Μάιος 02, 2023 9:50 am

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} με {f}'\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}},\text{ }x\in \mathbb{R}.
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη
και να προσδιορίσετε (αν υπάρχει) τη θέση του σημείου καμπής της γραφικής της παράστασης.
γ) Να αποδείξετε ότι:
ii. {f}'\left( x \right)\le 1, για κάθε x\in \mathbb{R}.
ii. Για κάθε \alpha \in \mathbb{R} ισχύει: 0<f\left( \alpha +1 \right)-f\left( \alpha  \right)<1.

Αφού τη λύσετε , δείτε τα ακροβατικά του θεματοδότη εδώ
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Τρί Μάιος 02, 2023 9:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13271
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από τράπεζα θεμάτων 35345

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 02, 2023 1:02 pm

exdx έγραψε:
Τρί Μάιος 02, 2023 9:50 am
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} με {f}'\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}},\text{ }x\in \mathbb{R}.
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη
και να προσδιορίσετε (αν υπάρχει) τη θέση του σημείου καμπής της γραφικής της παράστασης.
γ) Να αποδείξετε ότι:
ii. {f}'\left( x \right)\le 1, για κάθε x\in \mathbb{R}.
ii. Για κάθε \alpha \in \mathbb{R} ισχύει: 0<f\left( \alpha +1 \right)-f\left( \alpha  \right)<1.

Αφού τη λύσετε , δείτε τα ακροβατικά του θεματοδότη εδώ
α) Προφανές.

β) \displaystyle f''(x) =  - \frac{{3x}}{{{{({x^2} + 1)}^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} που σημαίνει ότι η f είναι κυρτή στο \displaystyle ( - \infty ,0], κοίλη στο \displaystyle [0, + \infty )

και παρουσιάζει καμπή στο x_0.

γ) i) \displaystyle {x^2} + 1 \geqslant 1 \Leftrightarrow {({x^2} + 1)^3} \geqslant 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}}  \geqslant 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}} }} \leqslant 1 \Leftrightarrow \boxed{f'(x)\le 1}

ii) Η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο [a,a+1], άρα υπάρχει \displaystyle \xi  \in (a,a+1) ώστε:

\displaystyle f'(\xi ) = \frac{{f(a + 1) - f(a)}}{{a + 1 - a}} = f(a + 1) - f(a)

Αλλά, από το προηγούμενο ερώτημα, \displaystyle 0< f'(\xi ) \le 1, οπότε \displaystyle 0 < f(a + 1) - f(a) \leqslant 1.

Δυσκολεύομαι να απορρίψω την ισότητα στο 1. Το αφήνω μέχρι να βρω άλλο τρόπο (δεν έχω δει ακόμα τις απαντήσεις).


Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 876
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: Από τράπεζα θεμάτων 35345

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Τρί Μάιος 02, 2023 2:27 pm

Πολύ ωραία ο Γιώργος έκανε ΘΜΤ στο \left [ a,a+1 \right ] και άρα υπάρχει \xi \in \left ( a,a+1 \right ) τέτοιο ώστε f{'}\left ( \xi \right )=f\left ( a+1 \right )-f\left ( a \right ) με 0< f{'}\left ( \xi \right )\leq 1 σύμφωνα και με το προηγούμενο ερώτημα.

Τώρα, για μετά θα πρότεινα το εξής:

Είναι  \displaystyle f\left ( x \right )=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+c,x,c\in \mathbb{R}.

Οπότε  \displaystyle f\left ( a+1 \right )-f\left ( a \right )=\frac{a+1}{\sqrt{\left ( a+1 \right )^{2}+1}}-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}\neq 1

που βγαίνει μετά από απλοποίηση και ύψωση στο τετράγωνο. (δεν έχω τον χρόνο τώρα να τα κάνω)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13271
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από τράπεζα θεμάτων 35345

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 02, 2023 5:43 pm

Για το δεύτερο σκέλος της ανισότητας του γ)ii).

\displaystyle f'(x) - 1 \leqslant 0 \Rightarrow {\left( {f(x) - x} \right)^\prime } \leqslant 0 με την ισότητα να ισχύει για x=0.

Άρα, η συνάρτηση f(x)-x είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε \displaystyle a < a + 1 \Rightarrow f(a) - a > f(a + 1) - a - 1, κλπ.


ΥΓ. Δεν μπορώ να βρω το θέμα 35345 στην παραπομπή.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1737
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Από τράπεζα θεμάτων 35245

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Μάιος 02, 2023 9:29 pm

Ευχαριστώ για την ανταπόκριση
Έκανα λάθος στον αριθμό .Είναι 35245


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4454
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Από τράπεζα θεμάτων 35345

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Μάιος 03, 2023 2:18 am

Επειδή
f^{\prime }\left( \xi \right) =1\Leftrightarrow \xi =0
και το 0 είναι η τετμημένη του μοναδικού σημείου καμπής μια σκέψη για τον αποκλεισμό της ισότητας f\left( a+1\right) -f\left( a\right) =1 μπορεί να προκύψει από την παρατήρηση που ως άσκηση διατυπώνεται εδώ.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες