Κυρτή με δύο ρίζες

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x}{e}+ln\left(\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{1}{e^x} ,x>0$

α) Δείξτε ότι η

είναι κυρτή .

β) Δείξτε ότι η

έχει δύο ακριβώς ρίζες .

KARKAR · #2

Για το ερώτημα β) , επινοήστε ένα απλό λήμμα ...

#3

Από $f'(x)=\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{e^x}$ και $f''(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{e^x}$ προκύπτει άμεσα η κυρτότητα: πράγματι αρκεί να δειχθεί η e^x>x^2

για

προφανής για 0<x<1

και εύκολη (μέσω δύο παραγωγίσεων) για x>1

.

Τώρα όσον αφορά τις ρίζες της

... Μία ρίζα υπάρχει και είναι προφανής, καθώς f(1)=0

. Τρεις ή περισσότερες διαφορετικές μεταξύ τους ρίζες δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν, διότι τότε θα είχε ρίζα η f''.

Άρα ο μόνος τρόπος να μην έχει ακριβώς δύο ρίζες η

είναι να είναι μοναδική της ρίζα η x=1,

είτε απλή είτε πολλαπλή. Πολλαπλή ρίζα η x=1

δεν μπορεί να είναι λόγω της $f'(1)=\dfrac{2}{e}-1<0.$ Και ως απλή ρίζα δεν μπορεί να είναι μοναδική διότι από f'(1)<0

έπεται ότι η

είναι φθίνουσα στην περιοχή του

, άρα λαμβάνει κάποιες αρνητικές τιμές δεξιά του

, άρα είναι υποχρεωμένη να μηδενισθεί ξανά δεξιά του

λόγω πχ της f(e^2)>0.

Κυρτή με δύο ρίζες

Κυρτή με δύο ρίζες

Re: Κυρτή με δύο ρίζες

Re: Κυρτή με δύο ρίζες

Μέλη σε σύνδεση