Επιτέλους κάτι κοινό

KARKAR · #1

: Επιτέλους κάτι κοινό.png (24.04 KiB) Προβλήθηκε 757 φορές

Η συνάρτηση : $f(x)=a\sin x+\tan x$ , βρίσκεται "πάνω" από την y=(a+1)x

, στο διάστημα $(0 , \dfrac{\pi}{2})$ ,

για a=1

( παράγει την χρήσιμη ανισότητα : $\tan x-x>x-\sin x$ ) και για a=2

( σχολική άσκηση ) .

Δείξτε ότι δεν ισχύει το ίδιο για a=3

. Ισχύει άραγε για κάποιο a>2

;

#2

Για $\displaystyle{a=3}$ θα θέλαμε να ισχύει

$\displaystyle{3\sin x+\tan x\geq 4x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)}$ , η οποία όμως αποτυγχάνει στο $\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$ .

Για το δεύτερο ερώτημα: Κάθε τέτοιο $\displaystyle{a}$ θα ικανοποιεί την συνθήκη

$\displaystyle{a\leq \frac{\tan x-x}{x-\sin x}}$ .

Επειδή είναι

$\displaystyle{\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\tan x-x}{x-\sin x}=2,}$ θα είναι $\displaystyle{a\leq 2.}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 08, 2024 8:09 pm
Επιτέλους κάτι κοινό.pngΗ συνάρτηση : $f(x)=a\sin x+\tan x$ , βρίσκεται "πάνω" από την , στο διάστημα $(0 , \dfrac{\pi}{2})$ ,

για ( παράγει την χρήσιμη ανισότητα : $\tan x-x>x-\sin x$ ) και για ( σχολική άσκηση ) .

Δείξτε ότι δεν ισχύει το ίδιο για . Ισχύει άραγε για κάποιο ;

Δεν ισχύει για κανένα a>2

.

α) Ας το δούμε πρώτα εκτός ύλης, και μετά με εντός. Το ανάπτυγμα Taylor της $a\sin x+\tan x -(a+1)x$ είναι $\dfrac {1}{6} (2-a)x^3 +O(x^5)$ . Οπότε κοντά στο

ο πρώτος όρος είναι αρνητικός.

β) Με σχολικά: Με τρεις φορές l' Hospital βρίσκουμε ότι το όριο στο

του

$\dfrac {a\sin x+\tan x -(a+1)x}{x^3}$ είναι $\dfrac {1}{6}(2-a)$ (οι πράξεις είναι ρουτίνα αλλά η πληκτρολόγιση επίπονη).

Το έλεγξα και με λογισμικό. Πάντως για a>2

είναι αρνητικό, που δείxνει ότι η ανισότητα δεν ισχύει κοντά στο

.

(Δεν είχα δει ότι απάντησε ο Θάνος. Το αφήνω για τον κόπο. Βέβαια η μέθοδος του Θάνου είναι σαφώς καλύτερη και ερμηνεύει καλύτερα γιατί αποτυγχάνει η περίπτωση a>2

)

Επιτέλους κάτι κοινό

Επιτέλους κάτι κοινό

Re: Επιτέλους κάτι κοινό

Re: Επιτέλους κάτι κοινό

Μέλη σε σύνδεση