Αντίστροφη Συνάρτηση

Κωνσταντίνος Μενεγάτος · #1

Καλησπέρα έρχομαι αντιμέτωπος με την εξής άσκηση.

Έστω $f:R \to R$ κυρτή και f'(x)>0,

για κάθε $x \epsilon R$ .

Να δειχθεί ότι η α) η

αντιστρέφεται και β) η f^-1

είναι κοίλη θεωρώντας ότι η f^-1

είναι παραγωγίσιμη.

Το πρώτο ερώτημα όντας πολύ απλό και εύκολο το έχω λύσει. Στο δεύτερο όμως δεν γνωρίζω καθόλου τι πρέπει να κάνω. Σας ευχαριστώ προκαταβολικά για την οποιαδήποτε απάντησή σας.

giannispapav · #2

Μια προσπάθεια με βάση τον σχολικό ορισμό της κυρτότητας.

Παραγωγίζουμε τη σχέση $f^{-1}(f(x))=x$ , $x\in A_f$ : $(f^{-1})'(f(x))=\dfrac{1}{f'(x)}$ .

Θα δείξουμε ότι η $(f^{-1})'$ είναι γνησίως φθίνουσα στο f(A_f)

.

Έστω $y_1,y_2\in f(A_f)$ με y_1<y_2

. Τότε υπάρχουν $x_1,x_2\in A_f$ έτσι ώστε f(x_1)=y_1

και

.

Επίσης $y_1<y_2\overset{f'\uparrow}{\Rightarrow} f'(x_1)<f'(x_2) \overset{f'(x)>0}{\Rightarrow} \dfrac{1}{f'(x_1)}> \dfrac{1}{f'(x_2)}$
$\Rightarrow (f^{-1})'(f(x_1))>(f^{-1})'(f(x_2)) \Rightarrow (f^{-1})'(y_1)>(f^{-1})'(y_2)$ δηλαδή η $(f^{-1})'$ είναι γνησίως φθίνουσα.

#3

Μπορούμε επίσης με υπολογισμό δεύτερης παραγώγου από την πρώτη (κανόνας πηλίκου), αλλά προτιμώ να το δω γεωμετρικά χωρίς πολλά λόγια (σχέση χορδής-εφαπτομένης και συμμετρία περί την y=x

):

: κοίλη-αντίστροφη.png (5.6 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές

Αντίστροφη Συνάρτηση

Αντίστροφη Συνάρτηση

Re: Αντίστροφη Συνάρτηση

Re: Αντίστροφη Συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση